Zad. 1. Na krawędziach SA, SB, SC ostrosłupa trójkątnego SABC obrano odpowiednio punkty A1, B1 i C1 takie, że |SA|·|SA1| = |SB|·|SB1| = |SC|·|SC1|. Wykaż, że punkty A, B, C, A1, B1 i C1 leżą na jednej sferze.
Zad. 2. Każdy punkt sfery pomalowano na niebiesko lub czerwono. Pokaż, że istnieją 3 punkty tego samego koloru będące wierzchołkami trójkąta równobocznego.
Zad. 3. Rozwiąż poniższy układ równań.
[tex] \begin{cases} 2x+y \cdot x^2 = y \\ 2y+z \cdot y^2 = z \\ 2z+x \cdot z^2 = x \end{cases} [/tex]
Zad. 1. Na krawędziach SA, SB, SC ostrosłupa trójkątnego SABC obrano odpowiednio punkty A1, B1 i C1 takie, że |SA|·|SA1| = |SB|·|SB1| = |SC|·|SC1|. Wykaż, że punkty A, B, C, A1, B1 i C1 leżą na jednej sferze.
Zad. 2. Rozważmy dwunastościan foremny wpisany w sferę o ścianach ABC, ABM2, BCM4, ACM6, AM1M2, BM2M3, BM3M4, CM4M5, CM5M6 i AM6M1. Zauważmy, że trójkąt M1M3M5 jest równoboczny, zatem jeśli jego wierzchołki są jednego koloru to mamy tezę. Załóżmy, że jest inaczej. Bez straty ogólności możemy założyć, że M1 i M5 są niebieskie, a M3 - czerwony. Wtedy jeśli B jest...
Zad. 3. Rozwiąż poniższy układ równań.
[tex] \begin{cases} 2x+y \cdot x^2 = y \\ 2y+z \cdot y^2 = z \\ 2z+x \cdot z^2 = x \end{cases} [/tex]
