Zad. 1. Udowodnij, że każdy wielokąt wypukły o polu 1 jest zawarty w pewnym równoległoboku o polu 2.
Zad. 2. Dany jest siedmiokąt foremny ABCDEFG o boku długości 1. Udowodnij, że |AC|+|AD|=|AC|·|AD|.
Zad. 3. Niech p będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych. Pokaż, że jeśli
p(-n) < p(n) < n dla pewnego całkowitego n, to p(-n) < -n.
W tym miesiącu 30 punktów zdobył Radosław Górzyński (I LO Lubin). Gratulacje.
Zad. 1. Udowodnimy, że każdy wielokąt wypukły o polu 1 zawiera się w pewnym prostokącie o polu 2. Dla trójkąta jest to oczywiste. Dla wielokąta o więcej niż trzech wierzchołkach rozważmy wierzchołki B i C najbardziej odległe od siebie. Przez B i C poprowadźmy proste odpowiednio l oraz k prostopadłe do prostej BC. Rozważmy teraz najmniejszy prostokąt (zawierający nasz wielokąt) UTSR, którego bok UT leży na prostej l, zaś bok SR leży na prostej k. Niech wierzchołki D oraz E naszego wielokąta leża odpowiednio na bokach UR oraz ST.
Łatwo zauważyć, że pole prostokąta RUCB jest dwukrotnie większe od pola trójkąta BCD, zaś pole BSTC jest dwa razy większe niż pole trójkąta BEC. Stąd pole UTSR jest co najwyżej dwukrotnie większe od pola naszego wyjściowego wielokąta, zatem jest mniejsze niż 2.
Zad. 2. Odbijamy siedmiokąt symetrycznie względem prostej AG. Otrzymamy siedmiokąt foremny AB'C'D'E'F'G. Zauważmy, że punkty C, A i D' leżą na jednej prostej, bo [tex] \angle{GAC} + \angle{GAD'} = \frac{4 \pi}{7} + \frac{3 \pi}{7} = \pi [/tex]. Ponadto [tex] \angle{GCA} + \angle{GD'A} = \frac{\pi}{7} = \angle{CAB} = \angle{ACB} [/tex] więc trójkąty GCD' oraz BAC są podobne. Stąd [tex] \frac{AC}{AB} = \frac{CD'}{CG} = \frac{AC+AD'}{AD} = \frac{AC+AD}{AD} [/tex] Ale |AB|=1, zatem |AC|+|AD|=|AC|·|AD|.
Zad. 3. Ponieważ [tex] a^n - b^n = \left( a-b \right) \left( a^{n-1} + a^{n-2} b+...+ b^{n-1} \right) [/tex] więc dla różnych liczb całkowitych a i b oraz dowolnego wielomianu p(x) o współczynnikach całkowitych mamy podzielność [tex] a-b | p\left(a \right)-p \left(b \right) [/tex]. Stąd [tex] 2n | p\left(n \right)-p \left( -n \right) [/tex]. Ponadto p(n)-p(-n) [tex]\neq 0 [/tex]. Zatem [tex] p\left( -n\right) \leq p\left( n\right) -2n \leq n-2n=-n [/tex]
