Zad. 1. Dla jakich x, y i z zachodzi równość (x+1)2+(y+z)2+(z+2)2=0?
Zad. 2. Ile spośród liczb 12, 12+22, 12+22+32, ..., 12+22+...+20082 dzieli się przez 3?
Zad. 3. Na płaszczyźnie poprowadzono 100 prostych poziomych i 2008 pionowych. Ile jest prostokątów, których boki zawierają się w tych prostych?
Poprawne rozwiązanie 3 zadań nadesłała tylko Michalina Sieradzka z Gimnazjum nr 49 we Wrocławiu. Gratulujemy!
Michalina prowadzi również w sumarycznej klasyfikacji Ligi (15,5 pkt. na 21 możliwych).
Zad. 1. Suma kwadratów pewnych liczb jest zerem wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie te liczby są zerami. Oznacza to w naszym przypadku spełnienie układu równań: x=-1, y=-z, z=-2, którego rozwiązaniem jest trójka liczb (-1, 2, -2).
Zad. 2. Kwadraty liczb podzielnych przez 3 dzielą się przez 3, kwadraty liczb postaci 3k+1 dają przy dzieleniu przez 3 resztę taką jak (3k+1)2=9k2+6k+1, czyli 1 (bo 9k2 i 6k to wielokrotności trójki dla dowolnego k). Kwadraty liczb postaci 3k+2 dają resztę taką jak 9k2+12k+4, czyli również 1. Dane w zadaniu sumy mają więc kolejno reszty: 1, 2, 2, 0, 1, 1, 2, 0, 0 itd. od nowa (1, 2, 2, ...). W kolejnych dziewięciu są zatem 3 sumy podzielne przez 3, a następna daje resztę 1. Jako że 9|2007 i 2007:3=669, wielokrotności trójki wśród sum danych w zadaniu jest 669.
Zad. 3. Każdy taki prostokąt jest jednoznacznie wyznaczony przez ustalenie czterech prostych, w których zawierają się jego boki. Proste poziome można wybrać na 100·99/2 (kolejno pierwszą i drugą, przy czym nie ma znaczenia, w jakiej kolejności je wybieramy), a poziome analogicznie na 2008·2007/2. Wybory te są niezależne, czyli odpowiedzią jest 100·99·2008·2007/4=9900·502·2007=9974388600.
Tradycja bożo-narodzeniowych jarmarków we Wrocławiu sięga XVI wieku. Jedną z ich atrakcji bywała dawniej "legnicka bomba". Co to było? 
