Miniwykład o obligacjach
Obligacje to papiery wartościowe emitowane przez państwo, samorząd terytorialny lub poszczególne firmy w celu zdobycia pieniędzy na określone potrzeby lub inwestycje. Można powiedzieć, że w ten sposób państwo lub inny emitent obligacji pożycza pieniądze od obywateli, którzy te obligacje zakupią, czyli od obligatariuszy. Obligacja jest jednocześnie zobowiązaniem emitenta, do zwrotu pożyczonej kwoty po określonym czasie.
Obligacje są sprzedawane po cenie emisyjnej i uprawniają każdego obligatariusza do otrzymania po upływie terminu wykupu obligacji pewnej kwoty pieniędzy zwanej wartością nominalną obligacji. Na ogół cena emisyjna obligacji jest niższa od jej wartości nominalnej. Mówimy wtedy, że obligacje są sprzedawane z dyskontem.
Przykład 1. Rząd Baranii wyemitował dwuletnie obligacje o wartości nominalnej 100 zł z dyskontem równym 10 zł. Jaka była cena emisyjna tych obligacji? Ile zarobi obywatel Baranii, który kupi trzy takie obligacje i sprzeda je po dwóch latach w cenie równej ich wartości nominalnej?
Rozwiązanie. Cena emisyjna to 100-10 = 90 zł. Na każdej obligacji obywatel zarabia 10 zł, czyli łącznie na trzech obligacjach zarobi 30 zł.
Specjalnym typem obligacji są tzw. obligacje kuponowe, które uprawniają obligatariuszy do otrzymania pewnej kwoty pieniędzy jeszcze przed terminem wykupu obligacji. Wypłata taka zwana jest kuponem i następuje w równych odstępach czasu. Zwyczajowo wysokość kuponu podaje się kwotowo lub jako procent wartości nominalnej obligacji. Na obligacji kuponowej podaje się także częstotliwość wypłat w ciągu roku.
Obecnie zakupu obligacji dokonuje się elektronicznie i stanowią one tylko zapis na dyskach komputerów, ale dawniej miały formę drukowaną (podobnie dziś często nie używa się już drukowanych pieniędzy, ale dokonuje opłat elektronicznych). Nazwa obligacji kuponowych wzięła się z tego, że na dokumencie obligacji wyznaczone były mniejsze fragmenty - kupony - które po oderwaniu uprawniały do realizacji okresowego zysku. Obligacje, które można zrealizować w całości tylko po upływie terminu wykupu, nazywają się zerokuponowe.
Przykład 2. Jaki zysk przyniesie zakup 50 obligacji dwuletnich o wartości nominalnej 100 zł, uprawniających do kuponu płatnego co pół roku w wysokości 2 zł, jeśli cena emisyjna tych obligacji wynosi 98 zł?
Rozwiązanie. Różnica w cenie nominalnej i emisyjnej każdej obligacji to 100-98 = 2 zł. Dodatkowo za każdą obligację w ciągu dwóch lat otrzymamy cztery kupony po 2 zł, co daje 2+8 = 10 zł zysku na każdej obligacji. Przy zakupie 50 sztuk zyskamy po dwóch latach 500 zł.
Zakup obligacji jest formą inwestowania posiadanych nadwyżek pieniędzy. Także dla niej określa się stopę rentowności tej inwestycji. Służy do tego stopa dochodu w okresie do wykupu YTM (z ang. yield to maturity). Niech W oznacza wartość nominalną n-letniej obligacji zerokuponowej, a E - jej cenę emisyjną. Wówczas stopę dochodu w okresie do wykupu obligacji określa wzór YTM =[tex]\left(\sqrt[n]{\frac{W}{E}}-1\right)[/tex]·100%.
Przykład 3. Oblicz YTM dla dwuletniej obligacji zerokuponowej o wartości nominalnej 100 zł i cenie emisyjnej 92,46 zł.
Rozwiązanie. Po podstawieniu danych do powyższego wzoru, otrzymujemy
YTM =[tex]\left(\sqrt{\frac{100}{92,46}}-1\right)[/tex]·100% ≈ 4%.
W przypadku n-letnich obligacji kuponowych o wartości kuponu K płatnego raz w roku, zależność między ceną emisyjną i wartością nominalną obligacji a stopą dochodu w okresie do wykupu obligacji przedstawia wzór
[tex]E=\frac{K}{(1+\mbox{YTM})}+\frac{K}{(1+\mbox{YTM})^2}+\ldots+\frac{K+W}{(1+\mbox{YTM})^n}[/tex].
Jeśli kupon wypłacany jest dla n-letnich obligacji dwa razy w roku w wysokości K/2, wzór ten należy zmodyfikować do następującej postaci:
[tex]E=\frac{K/2}{(1+\mbox{YTM}/2)}+\frac{K/2}{(1+\mbox{YTM}/2)^2}+\ldots+\frac{K/2+W}{(1+\mbox{YTM}/2)^{2n}}[/tex].
Zadanie 1. Pan Tadeusz kupił 80 obligacji zerokuponowych w cenie emisyjnej 96,55 zł. Cena nominalna tych obligacji wynosiła 100 zł. Ile zyska pan Tadeusz, sprzedając obligacje w terminie wykupu?
Zadanie 2. Pani Dulska kupiła 255 dwuletnich obligacji kuponowych w cenie emisyjnej 94,50 zł. Obligacja ta uprawnia co kwartał do kuponu o wartości 1,25 zł. Wartość nominalna tych obligacji wynosi 100 zł. Ile pieniędzy zyska pani Dulska, sprzedając obligacje w terminie ich wykupu?
Zadanie 3. Dwuletnia obligacja typu A uprawnia do płatnego co rok kuponu o wartości 7 zł, a dwuletnia obligacja typu B uprawnia do płatnego co miesiąc kuponu o wartości 0,55 zł. Wartość nominalna obu obligacji wynosi 100 zł, a cena emisyjna obligacji typu A to 90,80 zł. Jakie powinno być dyskonto obligacji typu B, aby ich zakup był bardziej opłacalny niż obligacji typu A?
Zadanie 1. Jaką cenę emisyjną należy zapłacić za czteroletnią obligację zerokuponową o wartości nominalnej równej 100 zł, aby uzyskać stopę dochodu w okresie do wykupu równą 5%?
Zadanie 2. Trzyletnia obligacja zerokuponowa o wartości nominalnej 1000 zł jest sprzedawana z 9% dyskontem. Oblicz jej stopę dochodu w okresie do wykupu.
Zadanie 3. Trzyletnia obligacja zerokuponowa ma wartość nominalną 100 zł. Pan Tadeusz kupił 850 takich obligacji ze stopą dochodu w okresie do wykupu równą 3,1%. Po dwóch latach sprzedał wszystkie obligacje w cenie, przy której stopa dochodu w okresie do wykupu była równa 3,05%. Czy pan Tadeusz zarobił, czy stracił na tej inwestycji? Ile pieniędzy?
Zadanie 1. Oblicz cenę emisyjną trzyletnich obligacji skarbu państwa o wartości nominalnej 1000 zł i kuponie wypłacanym cztery razy w roku w wysokości 10 zł, tak aby stopa dochodu dla tej inwestycji w okresie do wykupu obligacji wyniosła 4,8%.
Zadanie 2. Rozważmy obligację dwuletnią o wartości nominalnej 100 zł i kuponie rocznym stanowiącym 5% tej wartości. Wyznacz ceny emisyjne obligacji dla stóp dochodu w okresie do ich wykupu równych 4%, 5% i 6%. Skomentuj otrzymane wyniki.
Zadanie 3. Obligacja dwuletnia o wartości nominalnej 100 zł i kuponie rocznym w wysokości 6% tej wartości jest sprzedawana po cenie emisyjnej 96 zł. Oblicz stopę dochodu dla inwestycji w te obligacje w okresie do ich wykupu.
W tym miesiącu punkty zdobyli:
- 3 pkt. - Magdalena Dudek SP 66 Warszawa, Magdalena Kania SP 66 Warszawa, Natalia Kiszkowiak SP 66 Warszawa, Szymon Kuczkowski SP 5 Słupsk, Bogdan Kuśmierczyk SP 24 Wrocław, Katarzyna Piwowarska SP 66 Warszawa, Agnieszka Rachel ZSS Namysłów i Bartosz Szczerba SP 35 Szczecin,
- 2 pkt. - Mieszko Baszczak SP 301 Warszawa, Krystian Boryczka SP 2 Syców i Kornelia Droga SP 2 Syców.
Pozostałym uczestnikom Ligi nie przyznano punktów.
Po siedmiu miesiącach Ligi z Matematyki Finansowej z wynikiem 19,5 pkt. (na 21 możliwych) prowadzi Katarzyna Piwowarska z SP 66 w Warszawie. Gratulujemy!
W tym miesiącu punkty zdobyli:
- 3 pkt. - Anna Łeń GM 1 Łódź,
- 2,25 pkt. - Aleksandra Domagała GM 23 Wrocław,
- 2 pkt. - Tomasz Kuśmierczyk GM 9 Wrocław, Joanna Lisiowska KZE Warszawa i Mateusz Rzepecki GM 14 Wrocław,
- 1,75 pkt. - Kacper Toczek GM 2 Wołów,
- 1,5 pkt. - Michał Stempniak GM Sióstr Salezjanek Ostrów Wielkopolski,
- 1 pkt. - Mateusz Łopuszyński GM 6 Chełm,
- 0,75 pkt. - Wojciech Wiśniewski GM 3 Giżycko.
Pozostałym uczestnikom Ligi nie przyznano punktów.
Po siedmiu miesiącach Ligi z Matematyki Finansowej wynikiem 19,5 pkt. (na 21 możliwych!) prowadzi Joanna Lisiowska z Katolickiego Zespołu Edukacyjnego w Warszawie. Gratulujemy!
W tym miesiącu punkty zdobyli:
- 3 pkt. - Daria Bumażnik II LO Jelenia Góra i Tomasz Stempniak I LO Ostrów Wielkopolski,
- 1,5 pkt. - Kinga Kurzawa ZS 1 Ostrzeszów i Dominika Nowak ZS 1 Ostrzeszów,
- 1 pkt. - Krzysztof Bednarek III LO Wrocław i Krzysztof Danielak I LO Jelenia Góra.
Pozostałym uczestnikom Ligi nie przyznano punktów.
Po siedmiu miesiącach Ligi z Matematyki Finansowej z wynikiem 20,25 pkt. (na 21 możliwych!) prowadzi Tomasz Stempniak z I LO w Ostrowie Wielkopolskim. Gratulujemy!
Zad. 1. Dyskonto dla pojedynczej obligacji wynosi 100-96,55 = 3,45 zł, zatem pan Tadeusz zyska 80·3,45 = 276 zł, sprzedając obligacje w terminie wykupu.
Zad. 2. Dyskonto dla pojedynczej obligacji wynosi 100-94,50 = 5,50 zł. Wszystkie kupony dadzą kwotę 8·1,25 = 10 zł. Zatem pani Dulska zyska 255·(5,50+10) = 3952,50 zł, sprzedając obligacje w terminie wykupu.
Zad. 3. Dyskonto obligacji typu A wynosi 100-90,80 = 9,20 zł, a zysk razem z kuponami wynosi 9,20+2·7 = 23,20 zł. Dla obligacji typu B kupony dają zysk równy 24·0,55 = 13,20 zł, zatem dyskonto dla obligacji typu B musi być większe niż 23,20-13,20 = 10 zł.
Zad. 1. Podstawiając dane do wzoru na YTM, otrzymujemy 0,05=[tex]\left(\sqrt[4]{\frac{100}{E}}-1\right)[/tex], co po przekształceniach daje [tex]E=\frac{100}{1,05^4}[/tex]≈ 82,27 zł.
Zad. 2. Dyskonto wynosi 0,09·1000 = 90 zł. Podstawiając dane do wzoru na YTM, obliczymy stopę dochodu w okresie do wykupu: YTM = [tex]\left(\sqrt[3]{\frac{1000}{910}}-1\right)\approx 0,0319[/tex], czyli 3,19%.
Zad. 3. Korzystając ze wzoru na YTM dla n=3, W=100 i YTM=3,1%, obliczymy cenę emisyjną E ≈ 91,25 zł, w jakiej pan Tadeusz kupił obligacje. Stosując jeszcze raz ten wzór dla n=1, W=100 i YTM=3,05%, obliczymy cenę, w jakiej pan Tadeusz sprzedał po dwóch latach obligacje Es ≈ 97,04 zł. Okazuje się, że pan Tadeusz zyskał 850·(97,04-91,25) = 4921,50 zł.
Zad. 1. Obliczamy zgodnie z podanym wzorem: [tex]E=\frac{10}{(1+\mbox{0,048}/4)}+\frac{10}{(1+\mbox{0,048}/4)^2}+\ldots+\frac{10+1000}{(1+\mbox{0,048}/4)^{12}}\approx 977,77[/tex].
Zad. 2. Obliczając zgodnie z podanym wzorem:
- dla YTM=0,04 mamy E=101,89 zł,
- dla YTM=0,05 mamy E=100 zł,
- dla YTM=0,06 mamy E=98,17 zł.
Widzimy, że wraz ze wzrostem YTM cena emisyjna maleje. Innymi słowy zysk jest tym większy, im dyskonto przy kupnie obligacji jest większe. Dla YTM=0,05 cena emisyjna jest oczywiście równa cenie nominalnej, ponieważ kupon jest równy 5% ceny nominalnej.
Zad. 3. Należy rozwiązać równanie [tex]96=\frac{6}{(1+\mbox{YTM})}+\frac{106}{(1+\mbox{YTM})^2}[/tex]. Po przekształceniach dostaniemy równanie kwadratowe 48·YTM2+93·YTM-8 = 0, które ma tylko jeden dodatni pierwiastek równy 8,25%.
