Miniwykład o wewnętrznej stopie zwrotu
Dla każdej inwestycji określa się jej opłacalność mierzoną roczną stopą zwrotu.
Przykład 1. Rozważmy inwestycję polegającą na założeniu na rok lokaty bankowej. Na początku wpłacamy 1000 zł, a po roku odbieramy 1150 zł wraz z odsetkami. Jak bardzo opłacalna była dla nas ta inwestycja?
Rozwiązanie 1. Obliczamy, o ile więcej pieniędzy będziemy mieli po przeprowadzeniu inwestycji niż na początku, to jest 1150-1000 = 150 zł. Nie wiemy, czy to jest dużo, czy mało, dopóki nie porównamy tego z kwotą pieniędzy, jaką zainwestowaliśmy. Zatem pytamy, jaką część zainwestowanej kwoty stanowi zysk z inwestycji. Jest to 150/1000 = 15/100 tzn. 15%. Zatem po przeprowadzeniu inwestycji mamy o 15% więcej pieniędzy niż mieliśmy na początku. Mówimy, że roczna stopa zwrotu tej inwestycji wynosi 15%.
Rozwiązanie 2. Niech i oznacza szukaną roczną stopę zwrotu inwestycji. Wartość zainwestowanej kwoty to PV=1000 zł, a jej wartość po zakończeniu inwestycji to FV=1150 zł. Wartość przyszłą możemy obliczyć jako FV = PV+i·PV (z poprzedniego rozwiązania widać, że 1150 = 1000 + 15/100·1000). Wyciągając wspólny czynnik PV przed nawias, otrzymamy FV = PV·(1+i). Mamy więc do rozwiązania równanie 1000·(1+i) = 1150. Stąd 1000+1000·i = 1150, czyli 1000·i=150, zatem i=150/1000 = 15/100 =15%.
A jak określić roczną stopę zwrotu, jeśli inwestycja trwa dłużej niż rok?
Przykład 2. Zakładamy w banku lokatę na dwa lata. Na początku wpłacamy 1000 zł, a po dwóch latach odbieramy 1210 zł wraz z odsetkami. Jak bardzo opłacalna była dla nas ta inwestycja?
Rozwiązanie. Niech i oznacza szukaną roczną stopę zwrotu inwestycji, czyli wysokość rocznego oprocentowania lokaty, która po dwóch latach dałaby taki sam zysk. Wartość zainwestowanej kwoty to PV=1000 zł, a jej wartość po zakończeniu inwestycji to FV=1210 zł. Wartość inwestycji po roku to PV(1+i), a po kolejnym roku FV = PV(1+i) + i·PV(1+i). Wyciągając wspólny czynnik PV(1+i) przed nawias, otrzymamy FV = PV(1+i)·(1+i) = PV·(1+i)2. Podstawiając dane liczbowe, dostaniemy równanie 1210=1000·(1+i)2. Stąd 1,21 = (1+i)2. Ale 1,21 = 1,12 (co łatwo zgadnąć, wiedząc że 121=112). Zatem otrzymujemy 1+i=1,1, co daje i=1/10=10%. Zatem roczna stopa zwrotu dla tej inwestycji wynosi 10%.
Przykład 3. Zakładamy w banku lokatę na dwa lata. Na początku wpłacamy 1000 zł, po roku odbieramy 100 zł odsetek, a po kolejnym roku z lokaty odbieramy 1100 zł. Jak bardzo opłacalna była dla nas ta inwestycja?
Rozwiązanie. Niech i oznacza szukaną roczną stopę zwrotu inwestycji, czyli wysokość rocznego oprocentowania lokaty. Wartość zainwestowanej kwoty to PV=1000 zł, a wartość uzyskana po zakończeniu inwestycji to FV=1200 zł. Wartość inwestycji po dwóch latach to FV = i·PV + PV(1+i). Wyciągając wspólny czynnik PV przed nawias, otrzymamy FV = PV(1+2i). Podstawiając dane liczbowe, dostaniemy równanie 1200=1000·(1+2i). Stąd 1,2 = 1+2i, co daje 2i=2/10, czyli i =1/10=10%. Zatem roczna stopa zwrotu dla tej inwestycji wynosi 10%.
Zauważmy, że w przykładach 2 i 3 uzyskaliśmy po dwóch latach inwestycji tę samą roczną stopę zwrotu 10%, chociaż z tej samej kwoty początkowej 1000 zł uzyskaliśmy za pierwszym razem 1210 zł, a za drugim tylko 1200 zł. Różnica bierze się stąd, że w przykładzie 3 inwestor wycofał po pierwszym roku 100 zł odsetek z konta, czyli odzyskał te pieniądze rok wcześniej. Gdyby pozostawił je na lokacie na kolejny rok, to też dostałby na koniec inwestycji 1210 zł.
Aby jednoznacznie określić opłacalność inwestycji wprowadza się pojęcie wewnętrznej stopy zwrotu IRR (z angielskiego internal rate of return). Jest to taka roczna stopa zwrotu inwestycji, która zakłada, że żadne pośrednie zyski uzyskane z nakładów na inwestycję nie są wycofywane, tylko stale są inwestowane.
[koniec wykładu dla SP]
Innymi słowy IRR definiujemy jako stopę procentową, przy której wartość obecna wszystkich wkładów w inwestycję jest równa wartości obecnej wszystkich zwrotów z tej inwestycji. Dla inwestycji będącej lokatą bankową na procent składany IRR jest po prostu roczną stopą procentową, przy której obliczane są odsetki dla tej lokaty. Jednak w przypadku gdy odsetki naliczane są częściej niż raz w roku, sytuacja jest trochę inna.
Przykład 4. Lokata bankowa trwa 2 lata, a odsetki są naliczane co pół roku w wysokości 10%. Ile wynosi IRR jeśli włożymy na tę lokatę 1000 zł?
Rozwiązanie. W ciągu dwóch lat odsetki od lokaty będą naliczane czterokrotnie, zatem po tych dwóch latach odbierzemy z lokaty 1000·(1+0,1)4=1464,10 zł. Teraz obliczmy IRR. Wartość obecna zysku z lokaty to PV=1464,10/(1+i)2. Porównując ją z kwotą włożoną na lokatę, dostajemy równanie: 1000 = 1464,10/(1+i)2, skąd po przekształceniach i=0,21, czyli IRR wynosi 21%. Lokata bankowa ma oprocentowanie półroczne równe 10%, czyli roczne oprocentowanie nominalne jest równe 20%. Jednak IRR podaje efektywną roczną stopę procentową dla tej lokaty - 21%. Sprawdźmy zatem, ile przyniosłaby dwuletnia lokata w wysokości 1000 zł, gdyby odsetki naliczane były raz w roku w wysokości 21%. Mamy 1000·(1+0,21)2 = 1464,10 zł. Wynik jest więc identyczny z poprzednio wyliczoną kwotą.
Z przykładu 4 wypływa wniosek, że w przypadku lokat z częstszym niż raz w roku naliczaniem odsetek IRR podaje efektywną roczną stopę procentową, czyli taką, jakby odsetki naliczane były tylko raz w roku.
Wewnętrzną stopę zwrotu można zdefiniować w równoważny sposób jako rozwiązanie równania NPV(i)=0, gdzie NPV to wartość obecna netto. Wystarczy zauważyć, że NPV to suma wartości obecnych wpływów z inwestycji i wartości obecnych nakładów na inwestycje wziętych ze znakiem ujemnym, zatem i z równania NPV(i)=0 jest tym samym, które obliczamy w IRR.
Zauważmy także, że obliczanie IRR wprost jest dużo bardziej skomplikowane niż obliczanie NPV. Przy inwestycji trwającej wiele lat i posiadającej wiele wpływów lub wydatków obliczenie IRR może być wręcz niewykonalne. W poniższych przykładach zobaczymy, że nawet gdy mamy do czynienia z dwuletnią inwestycją, dużo łatwiej jest obliczyć NPV niż IRR.
[koniec wykładu dla GM]
Przykład 5. Inwestycja wymaga wyłożenia na początku kwoty 1500 zł. Po roku musimy zainwestować jeszcze 1000 zł, ale po dwóch latach inwestycja ta przyniesie nam 3600 zł. Oblicz NPV(25%), oraz IRR dla tej inwestycji.
Rozwiązanie. Wartość obecna netto wynosi NPV(25%) = -1500 - 1000/(1+0,25) + 3600/(1+0,25)2 = -1500-800+2304 = 4 zł. Natomiast, aby obliczyć wewnętrzną stopę zwrotu musimy rozwiązać równanie 1500+1000/(1+i) = 3600/(1+i)2. Możemy przekształcić je do postaci 15·(1+i)2+10·(1+i) = 36 i dalej otrzymujemy równanie kwadratowe 15i2+40i -11 = 0. Za pomocą wyróżnika można obliczyć oba pierwiastki tego równania, które wynoszą i = (±√565-20)/15, ale jeden z nich jest ujemny (mniejszy niż -2), więc nie może być rozwiązaniem zadania. Drugi to i = (√565-20)/15 ≈ 0,2513, czyli 25,13%.
Następny przykład pokaże, że nieznaczna zmiana w warunkach inwestycji może uprościć wyliczenie IRR.
Przykład 6. Zmieniając w inwestycji z przykładu 5 wpływ z 3600 zł na 4000 zł, oblicz IRR.
Rozwiązanie. Aby obliczyć IRR musimy rozwiązać równanie 1500 + 1000/(1+i) = 4000/(1+i)2. Możemy je przekształcić do postaci 3(1+i)2+2(1+i) = 8 i dalej otrzymujemy równanie kwadratowe 3i2+8i -3 = 0, które można zapisać jako 3(i+3)·(i -1/3) = 0, skąd od razu widać, że jedynym rozwiązaniem jest i=1/3, czyli około 33,33%.
Ostatni przykład rozwiążemy dla inwestycji, która daje zwroty przez trzy lata.
Przykład 7. Inwestycja polega na wyłożeniu 2000 zł. Po pierwszym i po drugim roku dostajemy po 200 zł zwrotu, a po trzecim roku dostajemy 2200 zł. Oblicz IRR dla tej inwestycji.
Rozwiązanie. Żeby obliczyć IRR, należy rozwiązać równanie 2000 = 200/(1+i) + 200/(1+i)2 + 2200/(1+i)3. Można je przekształcić do postaci 10i3+30i2+30i - i2 - 3i -3 = 0 i dalej (10i-1)(i2+3i+3)=0. Stąd widać od razu, że jedynym rozwiązaniem jest i=0,1, czyli 10%.
Jeżeli kredyt bankowy potraktujemy jako inwestycję, to obliczenie IRR dla tego kredytu jest równoważne z obliczaniem rzeczywistej rocznej stopy oprocentowania kredytu (oznaczanej jako RRSO). Wielkość ta informuje klienta banku o całkowitym koszcie kredytu razem z opłatami dodatkowymi takimi jak prowizja lub ubezpieczenie kredytu. Od 2002 roku każdy bank w Polsce zobowiązany ustawą musi podawać informację o RRSO dla swoich kredytów.
Zadanie 1. Oblicz IRR dla inwestycji, która wymaga na początku wyłożenia kwoty 2500 zł na dwa rodzaje usług, a po roku przynosi z jednego źródła wpływy równe 900 zł a z drugiego 2000 zł.
Zadanie 2. Chcemy zainwestować 1000 zł. Możemy wybrać lokatę, która po roku przyniesie 1102,50 zł lub lokatę dwuletnią, która również przyniesie 1102,50 zł. Oblicz IRR dla obu tych inwestycji.
Zadanie 3. Inwestujemy 1000 zł w lokatę bankową o stałym oprocentowaniu rocznym. Po trzech latach wypłacamy 3375 zł. Oblicz IRR dla tej inwestycji.
Zadanie 1. Oblicz efektywną roczną stopę procentową dla lokaty, w której odsetki naliczane są co kwartał w wysokości 4%. Oblicz IRR dla inwestycji polegającej na włożeniu 2000 zł na 3 lata na tę lokatę. Porównaj i skomentuj wyniki.
Zadanie 2. Inwestycja polega na wyłożeniu 510 zł. Po roku dostajemy zwrot w wysokości 500 zł, a po dwóch latach zwrot równy 50 zł. Oblicz IRR dla tej inwestycji po pierwszym roku i po zakończeniu inwestycji. Skomentuj wyniki.
Zadanie 3. Bank udziela kredytu w wysokości 5000 zł i wypłaca go w całości w momencie podpisania umowy kredytowej. Spłaty kredytu odbywają się w dwóch ratach po 3000 zł na koniec pierwszego i drugiego roku. Oblicz RRSO dla tego kredytu.
Zadanie 1. Wyznacz ogólny wzór na IRR dla inwestycji polegającej na wyłożeniu kapitału K na n-letnią lokatę z odsetkami naliczanymi m razy w roku w wysokości r%.
Zadanie 2. Inwestycja wymaga wyłożenia na początek 7000 zł. Dodatkowo na koniec drugiego roku należy zainwestować 1000 zł. Na koniec pierwszego roku inwestycja przyniesie 4000 zł, a na koniec trzeciego roku dostaniemy zwrot w wysokości 5577 zł. Oblicz IRR dla tej inwestycji.
Zadanie 3. Bank udziela kredytu w wysokości 5000 zł. Wypłacany jest on w dwóch transzach po 2500 zł, pierwsza w momencie podpisania umowy kredytowej, a druga po pierwszym roku. Spłaty kredytu odbywają się w dwóch ratach po 3000 zł na koniec pierwszego i drugiego roku. Dodatkowo w momencie podpisania umowy klient musi uiścić 1% prowizję od całej kwoty udzielonego kredytu. Oblicz RRSO dla tego kredytu.
W tym miesiącu punkty zdobyli:
- 3 pkt. - Kornelia Droga SP 2 Syców, Magdalena Dudek SP 66 Warszawa, Katarzyna Piwowarska SP 66 Warszawa, Bartosz Szczerba SP 35 Szczecin i Ewelina Zawada SP 2 Syców,
- 2,5 pkt. - Natalia Kiszkowiak SP 66 Warszawa, Kacper Kobyłecki SP "Oxpres" Bolesławiec i Bogdan
Kuśmierczyk SP 24 Wrocław, - 2 pkt. - Magdalena Kania SP 66 Warszawa i Agnieszka Rachel ZSS Namysłów,
- 1,5 pkt. - Szymon Kuczkowski SP 5 Słupsk,
- 0,5 pkt. - Mieszko Baszczak SP 301 Warszawa.
Pozostałym uczestnikom Ligi nie przyznano punktów.
Po sześciu miesiącach Ligi z Matematyki Finansowej z wynikiem 16,5 pkt. (na 18 możliwych) prowadzi Katarzyna Piwowarska z SP 66 w Warszawie. Gratulujemy!
W tym miesiącu punkty zdobyli:
- 3 pkt. - Joanna Lisiowska KZE Warszawa i Michał Stempniak GM Sióstr Salezjanek Ostrów Wielkopolski,
- 2,5 pkt. - Aleksandra Domagała GM 23 Wrocław i Wojciech Wiśniewski GM 3 Giżycko,
- 1 pkt. - Anna Łeń GM 1 Łódź, Mateusz Łopuszyński GM 6 Chełm i Kacper Toczek GM 2 Wołów,
- 0,5 pkt. - Tomasz Kuśmierczyk GM 9 Wrocław.
Pozostałym uczestnikom Ligi nie przyznano punktów.
Po sześciu miesiącach Ligi z Matematyki Finansowej wynikiem 17,5 pkt. (na 18 możliwych!) prowadzi Joanna Lisiowska z Katolickiego Zespołu Edukacyjnego w Warszawie. Gratulujemy!
W tym miesiącu punkty zdobyli:
- 3 pkt. - Kinga Kurzawa ZS 1 Ostrzeszów, Dominika Nowak ZS 1 Ostrzeszów i Tomasz Stempniak I LO Ostrów Wielkopolski,
- 1,5 pkt. - Daria Bumażnik II LO Jelenia Góra,
- 1 pkt. - Krzysztof Bednarek III LO Wrocław.
Pozostałym uczestnikom Ligi nie przyznano punktów.
Po sześciu miesiącach Ligi z Matematyki Finansowej z wynikiem 17,25 pkt. (na 18 możliwych!) prowadzi Tomasz Stempniak z I LO w Ostrowie Wielkopolskim. Gratulujemy!
Zad. 1. Wartość zainwestowanej kwoty to PV = 2500 zł. Po zakończeniu inwestycji uzyskamy FV = 900+2000 = 2900 zł. Podstawiając te kwoty do wzoru FV = PV·(1+i), dostaniemy 2900 = 2500·(1+i), czyli i = 2900/2500 -1 = 29/25 -1 = 4/25 = 16/100 = 16%. Stąd IRR dla tej inwestycji wynosi 16%.
Zad. 2. Wartość zainwestowanej kwoty to PV = 1000 zł. Po zakończeniu pierwszej lokaty zyskamy FV1 = 1102,50 zł, a po zakończeniu drugiej lokaty zyskamy FV2 = 1102,50 zł. Dla rocznej lokaty IRR obliczamy ze wzoru FV2 = PV·(1+i1), czyli 1102,5 = 1000·(1+i1), skąd po przekształceniach dostaniemy i1 = 1102,5/1000 -1 = 102,5/1000 = 10,25/100 = 10,25%. Dla dwuletniej lokaty IRR obliczamy ze wzoru FV2 = PV·(1+i2)2, czyli 1102,5 = 1000·(1+i2)·(1+i2), skąd po przekształceniach dostaniemy 1102,5/1000 = (1+i2)·(1+i2), czyli 11025/10000 = (1+i2)·(1+i2), 105·105/100·100 = (1+i2)·(1+i2). A stąd 105/100 = (1+i2), czyli i2 = 105/100 -1 = 5/100 = 5%. IRR dla lokaty rocznej wyniesie 10,25%, natomiast dla lokaty dwuletniej 5%.
Zad. 3. Wartość zainwestowanej kwoty to PV = 1000 zł. Po zakończeniu trzyletniej lokaty zyskamy FV = 3375 zł. IRR obliczamy ze wzoru FV = PV·(1+i)3. Podstawiając wartości liczbowe, dostaniemy 3375 = 1000·(1+i)·(1+i)·(1+i), czyli 3375/1000 = (1+i)·(1+i)·(1+i), 15·15·15/10·10·10 = (1+i)·(1+i)·(1+i). A stąd 15/10 = (1+i), czyli i = 15/10 -1 = 5/10 = 50/100 = 50%.
Zad. 1. Efektywną roczną stopę procentową dla tej lokaty obliczymy ze wzoru 1/(1+0,04)4 = 1/(1+i), co po przekształceniach daje i≈16,99%. Wkładając 2000 zł na trzy lata na taką lokatę, odbierzemy FV = 2000·(1+0,04)12 ≈ 3202,06 zł. Rozwiązując równanie 2000 = 3202,06/(1+i)3, dostaniemy i≈16,99%. Wynik jest taki sam, jak efektywna roczna stopa procentowa dla tej lokaty, ponieważ nie ma znaczenia, ile lat będzie trwała ta lokata. IRR zawsze będzie równy efektywnej stopie procentowej.
Zad. 2. Aby obliczyć IRR po roku, musimy rozwiązać równanie 510 = 500/(1+i), co daje i = -1/51 ≈ -1,96%. Wynik jest ujemny, co oznacza, że po roku inwestycja przyniosła stratę. Aby obliczyć IRR po dwóch latach, musimy rozwiązać równanie 510 = 500/(1+i) + 50/(1+i)2, które prowadzi do równania kwadratowego 51i2 + 52i - 4 = 0. Jedynym dodatnim pierwiastkiem tego równania jest i = 2·(2√55-13)/51 ≈ 7,19%. Zatem po dwóch latach inwestycja przynosi zysk.
Zad. 3. Aby obliczyć RRSO, należy rozwiązać równanie 5000 = 3000/(1+i) + 3000/(1+i)2. Prowadzi ono do równania kwadratowego 5i2+ 7i - 1 = 0, którego jedynym dodatnim pierwiastkiem jest i = (√69-7)/10 ≈ 13,07%.
Zad. 1. Przedstawioną sytuację opisuje równanie K·(1+r/100)n·m = K·(1+IRR/100)n, z którego dostajemy IRR = 100·((1+r/100)m-1).
Zad. 2. Należy rozwiązać równanie 7000+1000/(1+i)2 = 4000/(1+i) + 5577/(1+i)3, co po przekształceniach daje 7000i3+ 17000i2+ 14000i - 1577 = 0. Można to zapisać jako (10i-1)(700i2+1770i+1577) = 0. Ponieważ równanie kwadratowe w drugim nawiasie nie ma pierwiastków, jedynym rozwiązaniem jest i = 10%.
Zad. 3. Należy rozwiązać równanie 2500 + 2500/(1+i) = 50 + 3000/(1+i) + 3000/(1+i)2. Po przekształceniach dostajemy równanie kwadratowe 49i2+ 88i - 21 = 0, którego jedynym dodatnim pierwiastkiem jest i = (√2965-44)/49 ≈ 21,33%, stąd RRSO dla tego kredytu wynosi 21,33%.
