maj 2014 - wzór Fishera

Zmiany ilości kapitału, które obserwujemy w otaczającej nas rzeczywistości gospodarczej, nazywamy nominalnymi. Jeśli wyeliminujemy z tych zmian inflację, czyli czynnik, o jaki zmieniają się ceny towarów i usług, to otrzymamy realne zmiany ilości kapitału na rynku. Zmiany te określa ich stopa procentowa. Amerykański ekonomista i statystyk Irving Fisher pierwszy wprowadził rozróżnienie między realną stopą procentową i_r oraz nominalną stopą procentową i_n. Powiązał je ze stopą inflacji i_i za pomocą równania, które nazywane jest dziś jego imieniem:

   [tex]i_r = \frac{i_n - i_i}{1+i_i}[/tex]. 

Mówi ono, że realna zmiana ilości kapitału jest zmianą nominalną pomniejszoną o inflację w stosunku do tempa tej inflacji. 

Przykład 1. Porównaj wartości nominalnej i realnej stopy procentowej przy dodatniej inflacji.
Rozwiązanie. Jeśli i_i>0, to mianownik wzoru Fischera jest większy od 1, zatem i_r jest mniejsze od licznika, czyli i_r < i_n- i_i lub inaczej i_r+i_i< i_n. Stąd przy dodatniej stopie inflacji nominalna stopa procentowa jest większa niż stopa realna powiększona o stopę inflacji.

Przykład 2. Waloryzacja rent i emerytur w 2014 roku (czyli podwyżka rekompensująca wzrost cen za rok 2013) wyniosła 1,6% (czyli 1,6/100 = 16/1000), natomiast stopa inflacji w 2013 roku w gospodarstwach domowych emerytów i rencistów wyniosła 1,1% (czyli 1,1/100 = 11/1000). Oblicz realną stopę procentową, o jaką wzrosły renty i emerytury w 2014 roku.
Rozwiązanie. Podstawiając powyższe dane do wzoru Fishera, dostajemy
[tex]i_r = \frac{\frac{16}{1000} - \frac{11}{1000}}{1+\frac{11}{1000}} = \frac{\frac{5}{1000}}{\frac{1011}{1000}} = \frac{5}{1011} \approx \frac{49}{10000} = \frac{0,49}{100}[/tex].
Oznacza to, że renty i emerytury realnie wzrosły w 2014 roku o około 0,49%.

Mnożąc obie strony wzoru Fishera przez 1+i_i, otrzymujemy i_r + i_r·i_i = i_n- i_i. Jeśli inflacja jest bardzo mała (wartość i_i jest bliska 0), to składnik i_r·i_i jest także bardzo mały (dużo mniejszy niż i_r) i możemy go pominąć. Prowadzi to do przybliżonego wzoru Fishera: i_r ≈ i_n - i_i. Wzór ten pozwala na szybkie obliczenie realnej stopy procentowej jako różnicy nominalnej stopy procentowej i stopy inflacji.

Przykład 3. Oblicz dokładną oraz przybliżoną wartość realnej stopy procentowej dla inwestycji z nominalną stopą procentową równą 3% przy 2% inflacji.
Rozwiązanie. Z przybliżonego wzoru Fishera dostajemy przybliżoną realną stopę procentową równą różnicy stopy nominalnej i stopy inflacji, czyli 1% (3/100 - 2/100), a wartość dokładna jest mniejsza i wynosi  i_r=^0,01/_1,02≈0,0098, czyli 0,98%.

[koniec wykładu dla GIM]

Wzór Fishera możemy przekształcić do równoważnej postaci, dodając i odejmując jedynkę w liczniku ułamka:
[tex]i_r = \frac{i_n - i_i+1-1}{1+i_i}=\frac{1+i_n -(1+ i_i)}{1+i_i}=\frac{1+i_n}{1+ i_i}-1[/tex]. Stąd [tex]i_r +1 = \frac{1+i_n }{1+i_i}[/tex].
Jeśli teraz przez K oznaczymy kapitał włożony np. na lokatę bankową, to nominalna wartość lokaty na koniec okresu jej trwania wynosi K_n = K·(1+i_n), natomiast realna wartość lokaty to K_r = K·(1+i_r) = K·(1+i_n)/(1+i_i) = K_n/(1+i_i). Analogicznie obliczamy dwa typy odsetek od lokaty: odsetki nominalne to O_n = K·i_n = K_n- K, natomiast odsetki realne to O_r = O_n/(1+i_i).

Zadanie 1. Kiedy nominalna stopa procentowa jest równa realnej stopie procentowej? Porównaj te wartości, jeśli na rynku będziemy mieli do czynienia z deflacją (spadkiem cen towarów i usług), czyli kiedy i_i będzie ujemne. 

Zadanie 2. W 2013 roku waloryzacja rent i emerytur (za rok 2012) wyniosła 4%. Oblicz realną stopę procentową tej waloryzacji w dwóch przypadkach, przy stopie inflacji w 2012 roku wynoszącej:

• 4% w gospodarstwach domowych emerytów i rencistów
• 3,7% we wszystkich gospodarstwach domowych.  

Zadanie 3. Ile powinna wynosić stopa waloryzacji w 2014 roku, aby realna stopa procentowa wyniosła 1%?

Zadanie 1. W Abacji stopa inflacji wynosi 5%. Minister obrony chciałby realnego wzrostu wydatków budżetowych na wojsko przynajmniej o 8%. Oblicz dokładną wartość nominalnej stopy procentowej, która zadowoli ministra.

Zadanie 2. Wydatki na oświatę w gminie Smardzów wynoszą 5,6 mln zł. W przyszłym roku nominalna stopa procentowa wzrostu wydatków na oświatę ma wynieść 2,5%, a przewidywana stopa inflacji 3%. Oblicz przybliżoną i dokładną wartość realnej stopy procentowej wzrostu wydatków oświatowych w Smardzowie.

Zadanie 3. Roczny kredyt oprocentowany w wysokości 7% został spłacony w terminie. W tym czasie miała miejsce deflacja wynosząca -0,4%. Oblicz realną stopę procentową tego kredytu. Skomentuj wynik.

Zadanie 1. Przedstaw wykres zależności i_r w zależności od i_i przy ustalonej nominalnej stopie procentowej dla wzoru dokładnego i przybliżonego. Skomentuj wynik. 

Zadanie 2. Oprocentowanie lokaty bankowej wynosi w pierwszym półroczu 1%, a w drugim półroczu 2%. Oblicz nominalną i realną wartość lokaty na koniec roku, jeśli stopa inflacji wynosiła w obu półroczach po 1,5%, a włożony na lokatę kapitał to 5000 zł.

Zadanie 3. Nominalna wartość lokaty równa się sumie kapitału włożonego oraz nominalnych odsetek. Czy realna wartość lokaty równa się sumie kapitału włożonego i realnych odsetek? Czy kwotę realnych odsetek można obliczyć, mnożąc włożony kapitał przez i_r?

Odpowiedzi: 

Odpowiedzi dla SP

Zad. 1. Nominalna stopa procentowa jest równa realnej stopie procentowej tylko wtedy, gdy stopa inflacji jest równa zero, czyli gdy inflacja nie występuje. W przypadku deflacji mianownik we wzorze Fishera będzie mniejszy od 1, dlatego i_r będzie większe od licznika, czyli i_r > i_n-i_i, a ponieważ i_i<0, i_r > i_n. Zatem w przypadku deflacji realna stopa procentowa jest większa od nominalnej stopy procentowej.

Zad. 2. W pierwszym przypadku realna stopa procentowa waloryzacji wynosi 0%, ponieważ nominalna stopa procentowa i stopa inflacji są równe, więc licznik we wzorze Fishera jest równy 0. W drugim przypadku mamy
[tex]i_r = \frac{\frac{40}{1000} - \frac{37}{1000}}{1+\frac{37}{1000}} =
\frac{\frac{3}{1000}}{\frac{1037}{1000}}[/tex]= ³/₁₀₃₇ ≈ ²⁹/₁₀₀₀₀ = ^0,29/₁₀₀, czyli 0,29%.

Zad. 3. Z przykładu 2 wiemy, że stopa inflacji w 2013 roku w gospodarstwach domowych emerytów i rencistów wyniosła 1,1%. Przekształcamy wzór Fishera do postaci i_n-i_i = i_r·(1+i_i) i dalej do postaci i_n = i_r·(1+i_i)+i_i. Teraz wystarczy podstawić do tego wzoru i otrzymamy [tex]i_n=\frac{10}{1000}\cdot(1+\frac{11}{1000})+\frac{11}{1000}[/tex]= ^21,11/₁₀₀₀ = ^2,111/₁₀₀. Zatem stopa waloryzacji w 2014 roku powinna wynosić 2,111%, aby realna stopa procentowa wyniosła 1%.

Odpowiedzi dla GIM

Zad. 1. Przekształcamy wzór Fishera do postaci i_n = i_r·(1+i_i)+i_i. Po podstawieniu do tego wzoru wartości liczbowych dostajemy i_n = 0,08·(1+0,05)+0,05 = 0,134. Czyli ministra obrony zadowoli nominalny wzrost nakładów na obronę o przynajmniej 13,4%.

Zad. 2. Wartość przybliżona realnej stopy procentowej to i_r ≈ 0,025-0,03 = -0,005, co oznacza realny spadek nakładów na oświatę o 0,5%. Wartość dokładna to i_r = ^(0,025-0,03)/_(1+0,03) ≈ -0,00485, co również oznacza spadek nakładów na oświatę, ale o 0,485%. Obie stopy dają zmianę nakładów na oświatę różniącą się o 815,53 zł.

Zad. 3. Realna stopa oprocentowania tego kredytu wynosi i_r = ^(0,07-0,004)/_(1+0,004) ≈ 0,07429, czyli i około 7,43%. Oznacza to, że w przypadku deflacji kredyt jest realnie droższy niż podana stopa nominalna. Dlatego w przypadku inwestycji należy zawsze obliczać ich realną stopę procentową.

Odpowiedzi dla LO

Zad. 1. Przy ustalonej stopie nominalnej wzór przybliżony na realna stopę procentową to funkcja liniowa, np.  i_r(i_i) = 0,1-i_i (wykres niebieski). Natomiast wzór dokładny przy ustalonej stopie nominalnej to funkcja wymierna, np. i_r(i_i) = ^(0,1-i_i)/_(1+ii) (wykres czerwony). Dla 0<i_i<i_n wykres dla wzoru przybliżonego leży powyżej wykresu dla wzoru dokładnego, czyli mamy do czynienia z zawyżonymi przybliżeniami. Dla -1<i_i<0 i  i_n<i_i mamy do czynienia z sytuacją odwrotną: wykres dla wzoru dokładnego leży powyżej wykresu dla wzoru przybliżonego, czyli mamy do czynienia z zaniżonymi przybliżeniami. Wykresy przecinają się dla i_i=0 i i_i=i_n.

 

 

Zad. 2. Wartość nominalna kapitału po roku to K_n = 5000·(1+^0,01/₂)·(1+^0,02/₂) = 5075,25 zł. Natomiast wartość realna to K_r = ^5075,25/_1+0,015 = 5000,25 zł. Oznacza to, że realnie po roku wartość kapitału wzrosła tylko o 0,25 zł.

Zad. 3. Realna wartość kapitału to K_r = K·(1+i_r) = K+K·i_r = K+K·^(i_n-i_i)/_(1+ii) = K+^K·i_n/_(1+ii)-^K·i_i/_(1+ii) = K+O_r-^K·i_i/_(1+ii). Widać stąd, że realna wartość kapitału nie jest sumą kapitału włożonego i realnych odsetek, bo jest jeszcze dodatkowo pomniejszona o czynnik ^K·i_i/_(1+ii). Drugie pytanie sprowadza się do pierwszego pytania bo jeśli O_r ≠ K·i_r, to znaczy, że K+O_r ≠ K+K·i_r = K_r, czyli odpowiedź na drugie pytanie również jest przecząca.