Zad. 1. Punkty kratowe o współrzędnych naturalnych ustawiono w następujący ciąg
(1, 1), (2, 1), (1, 2), (3, 1), (2, 2), (1, 3), (4, 1), (3, 2), (2, 3), (1, 4), (5, 1), (4, 2), (3, 3), (2, 4), (1, 5), … itd.
Jaki punkt znalazł się na 2017 miejscu tego ciągu? Podaj formułę algebraiczną na n-ty wyraz tego ciągu.
Zad. 2. Znajdź najmniejszą wartość wyrażenia a2/b + b/c2 + c/a, gdzie a, b, c są dodatnie.
Zad. 3. Czy istnieją trzy różne liczby całkowite dodatnie, których suma, a także suma każdej pary tych liczb jest kwadratem?
W kwietniu punkty zdobyli:
- 3 – Patryk Szlufik II LO Opole, Bartosz Czyżewski I LO Jelenia Góra, Mikołaj Pater III LO Opole i Paweł Wesołowski II LO Końskie;
- 2,5 – Joanna Lisiowska XXI LO Warszawa;
- 2 – Wojciech Wiśniewski I LO Giżycko i Konrad Bratek I LO Bolesławiec;
- 0,5 – Błażej Mrzygłód V Technikum Opole
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Ciąg ‘wędruje’ wzdłuż kolejnych linii przekątniowych o długościach 1, 2, 3, … Sumy liczb wyrazów z kolejnych przekątnych dają kolejne liczby trójkątne. Największą liczbą trójkątną nie przekraczającą 2017 jest 2016, bo 1+2+3+…+k = (k+1)k/2 = 2016, daje k=63. Zatem 2016 wyrazów zapełni 63 linie przekątniowe, a wyraz 2017 będzie pierwszym w 64 linii, zatem będzie wynosił (64, 1). Ogólna formuła an = (k+2–j, j), gdzie Tk jest największą liczbą trójkątną nie przekraczającą n i n=Tk+j = 1+2+3+…+k + j = (k+1)k/2+j dla j<k+1.
Zad. 2. Stosujemy nierówność między średnią arytmetyczną i geometryczną dwóch liczb. Zaczynamy od liczb a2/b i b/c2. Otrzymujemy [tex]\frac{\frac{a^2}{b}+\frac{b}{c^2}}{2}\geq\sqrt{\frac{a^2}{b} \cdot\frac{b}{c^2}}=\frac{a}{c}[/tex]. Tę samą nierówność stosujemy teraz do liczb 2a/c i c/a. Mamy [tex]\frac{a^2}{b}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a}\geq\frac{2a}{c}+\frac{c}{a}\geq2\sqrt{\frac{2a}{c} \cdot\frac{c}{a}}=2\sqrt{2}[/tex]. Dane wyrażenie nie przekracza więc tej wartości. Należy jeszcze pokazać, że wartość ta jest przyjmowana dla jakichś wartości a, b i c. Równości w nierównościach zachodzą wtedy i tylko wtedy, gdy a2/b = b/c2 oraz 2a/c = c/a. Przyjmijmy a=1. Podstawiając ją do drugiego równania, dostajemy c=[tex]\sqrt{2}[/tex], a z pierwszego równania dostajemy wtedy b=[tex]\sqrt{2}[/tex].
Zad.3. Takie liczby istnieją. W rozwiązaniu wystarczy podać jeden przykład, opisując drogę dojścia do tego wyniku. Np. dla liczb 41, 80, 320 mamy 41+80+320 = 441 = 212, 80+320 = 400 = 202, 41+320 = 361 = 192, 41+80 = 121 = 112. Aby znaleźć ten przykład, zakładamy, że kwadratami kolejnych liczb naturalnych są a+b+c = (x+1)2 = x2+2x+1, a+b = x2 i b+c = (x–1)2= x2–2x+1. Wobec tego c = (a+b+c)–(a+b) = 2x+1 i a = (a+b+c)–(b+c) = 4x. Stąd a+c = 6x+1 i liczba ta ma być kwadratem, co zachodzi np. dla x = 20. Wśród liczb mniejszych od 1000 analogicznie można znaleźć trójkę 57, 112 i 672 (57+112=169=132, 57+672=729=272, 112+672=784=282 i 57+112+672=841=292). Inne możliwe zestawy to (97, 192, 2112), (121, 240, 3360), (177, 352, 7392)...
