Zad. 1. Wyznacz największą wartość stosunku liczby trzycyfrowej do sumy jej cyfr?
Zad. 2. Funkcje f i g określone są następująco: f (x) = max(sinx, cosx), g(x)=min(sinx, cosx).
Wyznacz najmniejszą wartość funkcji f i największą wartość funkcji g.
Zad. 3. Udowodnij, że nie istnieje nieskończony ciąg arytmetyczny utworzony z liczb pierwszych.
W maju punkty zdobyli:
- 3 - Bartosz Czyżewski I LO Jelenia Góra, Błażej Mrzygłód V Technikum Opole, Paweł Wesołowski II LO Końskie, Joanna Lisiowska XXI LO Warszawa, Wojciech Wiśniewski I LO Giżycko i Konrad Bratek I LO Bolesławiec.
Zad. 1. Szukamy liczby 100a + 10b + c takiej, że stosunek [tex]\frac{100a+10b+c}{a+b+c}[/tex]. jest największy. Jeżeli b = c = 0, to [tex]\frac{100a}{a}=100[/tex]. W pozostałych przypadkach mamy: a + b + c ≥ a + 1, 100a + 10b + c < 100a + 100 = 100(a + 1). Zatem s < [tex]\frac{100(a+1)}{a+1}=100[/tex]. Największa wartość stosunku wynosi 100.
Zad.2. Dla dowolnych liczb a, b ∈ R mamy min(a, b) ≤ (a + b) : 2 ≤ max(a, b). Ponadto |sinx + cosx| ≤ [tex]\sqrt{2}[/tex], skąd [tex]-\frac{\sqrt{2}}{2}\leq\frac{1}{2}\cdot(\sin x+\cos x)\leq \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]. Wobec tego otrzymujemy: [tex]f(x) \geq \frac{1}{2}\cdot(\sin x+\cos x)\geq-\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex], [tex]g(x) \leq \frac{1}{2}\cdot(\sin x+\cos x)\leq\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]. A ponieważ [tex]f(\frac{5}{4}\cdot\pi)=-\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex], [tex]g(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] , więc $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ jest najmniejszą wartością funkcji f a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ największą wartością funkcji g.
Zad.3. Załóżmy, ze istnieje nieskończony ciąg arytmetyczny (an) o dodatniej różnicy utworzony z liczb pierwszych. Niech m = a1 + 1. Wtedy wbrew powyższemu założeniu otrzymujemy liczbę złożoną am = a1 (r + 1).
