Zad. 1. Przy drodze w odległości 10 m jeden od drugiego leżały słupki. Robotnik przeniósł pojedynczo wszystkie słupki, zaczynając od pierwszego, tam, gdzie leżał ostatni. Ile było słupków, jeżeli robotnik przeszedł drogę 3,61 km?
Zad. 2. Na zawodach crossowych motocyklista, który zajął drugie miejsce, jechał ze średnią prędkością o 15 km/h mniejszą od zwycięzcy i o 3 km/h większą od średniej prędkości tego, który zajął trzecie miejsce. Wszyscy zawodnicy wystartowali jednocześnie. Drugi zawodnik minął linię mety 12 minut po pierwszym i trzy minuty przed trzecim. Z jaką średnią prędkością jechał każdy z zawodników?
Zad. 3. Danych jest 5 odcinków o długościach odpowiednio 1, 3, 5, 7, 9 jednostek. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że trzy losowo wybrane różne odcinki są wysokościami pewnego trójkąta.
W marcu punkty zdobyli:
- 3 - Joanna Lisiowska XXI LO Warszawa, Bartosz Czyżewski I LO Jelenia Góra, Błażej Mrzygłód V Technikum Opole, Paweł Wesołowski II LO Końskie i Wojciech Wiśniewski I LO Giżycko;
- 2 - Mikołaj Pater III LO Opole i Konrad Bratek I LO Bolesławiec;
- 1 - Patryk Szlufik II LO Opole i Mateusz Kwieciński I LO Bolesławiec.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Robotnik przeszedł 3,61 km = 3 600 m. Niech n – liczba słupków, x – liczba odcinków między słupkami, y – liczba odcinków między słupkami po zabraniu jednego słupka. Robotnik w jedną stronę (niosąc słupek) łącznie pokonał drogę:
10 + 20 + 30 + ... + 10x = 10(1 + 2 + 3 + ... + x), gdzie x = n – 1
oraz w drugą stronę (wracając po słupek):
10 + 20 + 30 + ... + 10y = 10(1 + 2 + 3 + ... + y), gdzie y = n – 2.
W obie strony robotnik przeszedł:
10(1 + 2 + 3 + ... + x) + 10(1 + 2 + 3 + ... + y) = 3 610,
skąd
(1 + 2 + 3 + ... + x) + (1 + 2 + 3 + ... + y) = 361.
Dalej przekształcając otrzymujemy x(x + 1) : 2 + y(y+1) : 2 = 361.
Ponieważ x = n – 1 i y = n – 2, więc po podstawieniu i przekształceniu otrzymujemy
n2 – 2n +1 = 361, skąd n = 20.
Słupków było 20.
Zad. 2. Niech v, t – prędkość i czas jazdy drugiego zawodnika. Zależności zgodnie z warunkami zdadania przedstawia tabela niżej.
| I miejsce | II miejsce | III miejsce | |
| Prędkość [km/h) | v +15 |
v | v – 3 |
| Czas [h] | t – 1/5 | t | t + 1/20 |
| Droga [km] | (v + 15)( t – 1/5) | vt | (v – 3)( t + 1/20) |
Wszyscy zawodnicy pokonali taką samą trasę, a stąd: (v + 15)(t – 1/5) = vt i (v – 3)(t + 1/20) = vt. Rozwiązując układ równań otrzymujemy v = 75 oraz v +15 = 90, v – 3 = 72. Pierwszy zawodnik jechał z prędkością 90 km/h, drugi, 75 km/h a trzeci 72 km/h.
Zad. 3.
Trzy odcinki z pięciu można wybrać na |Ω| = [tex]{{5}\choose{3}}[/tex] = 10 sposobów. Niech a, b, c to długości boków trójkąta a ha, hb, i hc wysokości opuszczone na odpowiednie boki. Wysokości mają różne długości zatem trójkąt jest różnoboczny. Jeżeli a < b < c to ha > hb > hc. Ze wzoru na pole trójkąta a = 2P/ha, b = 2P/hb, c = 2P/hc Aby z odcinków można było skonstruować trójkąt musi zachodzić warunek a + b > c, czyli 2P/ha + 2P/hb > 2P/hc a stąd 1/ha + 1/hb > 1/hc. Taki warunek spełniają dwie trójki |A|= {(5, 7, 9)}, {(3, 5, 7)}. Prawdopodobieństwo tego, że trzy losowo wybrane różne odcinki są wysokościami pewnego trójkąta wynosi zatem P(A) = |A|/|Ω| = 1/5.
