Zad. 1. Liczby dodatnie a, b, c są długościami boków trójkąta, którego obwód wynosi 2. Pokaż, że a2+b2+c2+2abc < 2.
Zad. 2. Udowodnij, że wielomian x6–x5+x4–x3+x2–x+3/4 nie ma pierwiastków rzeczywistych.
Zad. 3. Udowodnij, że jeśli liczby a, b, m są całkowite i a2+2mb2 jest kwadratem liczby całkowitej, to a2+mb2 jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych.
W tym miesiącu 20 punktów zdobył Radosław Górzyński (I LO Lubin). Gratulacje.
Zad. 1. Mamy 4 = (a+b+c)2, zatem nierówność przybiera postać 4–2(ab+bc+ca)+2abc<2, czyli
0 < 1–(a+b+c)+ab+bc+ca–abc i ostatecznie 0 < (1–a)(1–b)(1–c). Ta nierówność jest prawdziwa, bo b+c > a, czyli a+b+c = 2 > 2a (analogicznie dla b i c).
Zad. 2. Oznaczmy wielomian z zadania jako P(x). Zauważmy, że P(x) = -x(1–x)(x4+x2+1)+ 3/4. Dla x z przedziału (0, 1) mamy: [tex] P(x) > 0 [/tex]. Dla pozostałych liczb wieloman P(x) jest w oczywisty sposób dodatni, zatem nie ma on pierwiastków rzeczywistych.
Zad. 3. Niech t będzie taką liczbą całkowitą, że (*) a2+2mb2 = t2. Wtedy 2(a2+mb2) = a2+t2 = [tex] \frac{(a-t)^2}{2} + \frac{(a+t)^2}{2} [/tex]. Stąd a2+mb2 = [tex] \frac{(a-t)}{2}^2 + \frac{(a+t)}{2}^2 [/tex]. Kończy to dowód, bo z (*) wynika, że a–t = 0 (mod 2).
Tradycja bożo-narodzeniowych jarmarków we Wrocławiu sięga XVI wieku. Jedną z ich atrakcji bywała dawniej "legnicka bomba". Co to było? 
