Zad. 1. Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich [tex] a_1 , a_2 ,..., a_n [/tex], których suma jest równa 1, zachodzi nierówność [tex] \left( 1+ n \right)^n \leq \prod_{i=1}^{n} \left( 1+ \frac{1}{a_i} \right) [/tex].
Zad. 2. Udowodnij, że gdy liczby rzeczywiste a, b, c spełniają warunki a<b<c, a+b+c=2, ab+bc+ca=1, to zachodzą nierówności [tex] 1<c<\frac{4}{3} [/tex].
Zad. 3. Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej [tex] 2 \leq n [/tex] zachodzi nierówność
[tex] 2\sqrt{n+1}-2 < \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} < 2\sqrt{n}-1 [/tex].
W tym miesiącu 30 punktów zdobył Radosław Górzyński (I LO Lubin). Gratulacje.
Zad. 1. Zauważmy, że przy zbliżaniu liczb dodatnich a i b z zachowaniem sumy a+b wyrażenie [tex] (1+ \frac{1}{a}) (1+ \frac{1}{b}) = 1+ \frac{1+a+b}{ab} [/tex] maleje. Zatem przy przejściu od ciągu [tex] (a_1,a_2,...,a_n) [/tex] do ciągu [tex] (\frac{1}{n},\frac{1}{n},...,\frac{1}{n}) [/tex] prawa strona nierówności z zadania maleje. Wystarczy zauważyć, że jeśli [tex] a_1 = a_2 = ... = a_n = \frac{1}{n} [/tex], to lewa strona nierówności jest równa prawej.
Zad. 2. Rozważmy wielomian P(t) = (t–a)(t–b)(t–c). Wtedy a, b, c są pierwiastkami równania f(t) = t3–2t2+t = abc. To równanie ma 3 różne pierwiastki tylko gdy [tex] 0 \leq abc \leq \frac{4}{27} [/tex]. Największy pierwiastek znajduje się na przedziale [tex] (1, \frac{4}{3}) [/tex].
Zad. 3. Niech [tex] c_n = 2 \sqrt{n} -1, b_n = 2(\sqrt{n+1} -1), a_n = \Sigma_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} [/tex]. Wówczas [tex] b_2 < a_2 < c_2 . [/tex] Z kolei [tex] a_{n+1} - a_n > b_{n+1} - b_n[/tex] oraz [tex] a_{n+1} - a_n < c_{n+1} - c_n[/tex].
Steinhaus twierdził, że nazwisko Knaster brzmi w dopełniaczu Knastra, a sam Knaster upierał się przy formie Knastera. 
