Zad. 1. Znajdź liczby rzeczywiste x, dla których wyrażenia tgx i tg2x przyjmują wartości całkowite.
Zad. 2. Liczby dodatnie a, b, c, d spełniają a+b = c+d oraz a2+b2 > c2+d2. Pokaż, że a5+b5 > c5+d5.
Zad. 3. Objętość pewnego równoległościanu jest liczbowo równa jego polu powierzchni i wynosi 216. Pokaż, że ten równoległościan jest sześcianem.
Zad. 1. Załóżmy, że x to liczba rzeczywista, dla której tgx = m i tg2x = n. Wtedy [tex] \frac{2m}{1-m^2} = n, -mn= \frac{2m^2}{m^2 -1} = 2+ \frac{2}{m^2 -1} [/tex]. Zatem oba wyrażenia tgx i tg2x będą całkowite, gdy ułamek [tex] \frac{2}{m^2 -1} [/tex] będzie liczbą całkowitą. To jest możliwe wtedy i tylko wtedy, gdy 2|m2–1, czyli gdy m2–1 [tex]\in \left( -2,-1,1,2 \right) [/tex]. Stąd jedyna możliwość to m2–1 = -1, czyli m=0. Zatem x jest całkowitą wielokrotnością π.
Zad. 2. Z założenia a+b = c+d oraz c2+d2 < a2+b2. Stąd (c+d)2–2cd < (a+b)2–2ab, czyli ab
Zad. 3.
