Zad. 1. Jakie naturalne liczby n mają następującą własność: "Dla dowolnych całkowitych a, b i c niepodzielnych przez n liczba a+2b+3c nie dzieli się przez n."?
Zad. 2. Przez F oznaczmy figurę złożoną z punktów, których odległość od danego prostokąta o wymiarach 2×4 jest mniejsza niż 1. Jaką objętość ma bryła powstająca z obrotu F wokół jej osi symetrii?
Zad. 3. Dla jakich x, y zachodzi nierówność: x2+y2+4 > 2(x+y–xy)? Uzasadnij!
Zadania listopadowe były trudne i maksymalnym uzyskanym wynikiem było 2,5 pkt. Uzyskali tyle: Adam Balawender, Aleksandra Grzelak, Karolina Łagoda, Marek Mika, Michał Stroka, Wojciech Tobiś, Karol Wachtarczyk, Grzegorz Wołoch i Arkadiusz Wróbel. Po 2 pkt zdobyli: Piotr Derda, Agata Filipowicz, Karol Łukasik, Martyna Mikoda i Aleksander Ulatowski.
Adam Balawender, Aleksandra Grzelak, Karolina Łagoda, Marek Mika, Michał Stroka, Wojciech Tobiś, Karol Wachtarczyk i Arkadiusz Wróbel prowadzą w sumarycznym rankingu Ligi z wynikiem 5,5 pkt.
Zad. 1. Skoro podaną własność mają mieć dowolne trójki (a, b, c), to nie jest to możliwe dla n>1 (wystarczy wziąć np. a=b=1 i c=n-1). Dla n=1 założenie nie jest spełnione dla żadnych a, b i c, więc całe zdanie jest prawdziwe (dla dowolnych nieistniejących a, b i c zachodzi bowiem cokolwiek). Z kolei jeśli 0 uznać za liczbę naturalną, wszystkie a, b, c spełniają zarówno założenie jak i tezę, więc również 0 ma opisaną w zadaniu własność.
Zad. 2. Otrzymaną figurę można rozłożyć na walec, w zależności od tego, wokół której osi symetrii obracamy - o wysokości 4 i promieniu podstawy 2 lub o wysokości 2 i promieniu podstawy 3, oraz dwie połówki innej bryły obrotowej, powstającej przez obrót figury płaskiej ograniczonej półokręgiem, dwoma odcinkami długości odpowiednio 1 lub 2 prostopadłymi do osi obrotu i osią obrotu dookoła tej osi. Jej powierzchnia powstaje więc przez obrót krzywej o równaniu odpowiednio y=1+√(1-x2) i y=2+√(1-x2) wokół osi x, zatem jej objętość wyraża się całką od -1 do 1 z πy2 po dx, a tę możemy kazać obliczyć np. WolframowiAlpha (wpisując "integral(pi(1+sqrt(1-x^2))^2,-1,1)" i integral(pi(2+sqrt(1-x^2))^2,-1,1)"). Dodając do otrzymanych wyników objętości odpowiednich walców, otrzymamy ostatecznie odpowiedź: π2+58π/3 lub 2π2+82π/3. Dziękujemy Markowi Mice za uwagi i poprawki!
Zad. 3. Podana nierówność jest równoważna (x+y-1)2+3 > 0, co spełniają wszystkie pary rzeczywistych x i y.
Zad. 1
Chyba nie do końca rozumiem tę odpowiedź. W treści mamy "Dla dowolnych całkowitych a, b i c niepodzielnych przez n". W odpowiedzi jest natomiast podane, że pasuje to do n=0 lub n=1, a przecież przez 0 nie dzielimy, a co do 1, to nie ma takich a, b, c, żeby nie były podzielne przez 1, więc jak dla mnie w obu przypadkach jest sprzeczność. Z tego, co widzę, to tu jest jakby rozkład na 2 składowe części zdania i analizowanie jakby tam była równoważność, ale jeśli faktycznie tak jest, to według mnie, powinno być to jakoś zaznaczone w treści...
Zad. 1 (autopoprawka)
Rozpędziłem się trochę w tym poprzednim komentarzu. Chodziło mi tylko o liczbę 1. Odnośnie zera, to tam jest niepodzielne przez 0, czyli z tym akurat się zgodzę (o ile przyjąć, że zero jest naturalne, bo ja zwykle zaczynam naturalne od jedynki i przez to nie uwzględniłem zera w odpowiedzi).
Zad. 1
Własność liczby n opisaną w zadaniu można zapisać jako implikację (a nie jako równoważność!): jeśli a, b, c nie dzielą się przez n, to a+2b+3c również nie. Implikację taką spełnia n=1, ponieważ jej założenie jest dla wszystkich a, b, c fałszywe (a wtedy implikacja jest przeciez prawdziwa). Można też rozumieć ten fakt tak, jak napisaliśmy: takie a, b, c, które nie dzielą się przez 1, nie istnieją, a nieistniejącym obiektom można przypisać dowolną cechę (więc także np. niepodzielność przez 1).
Zad. 2
Otrzymana figura nie będzie beczką. Jej objętość można obliczyć z II twierdzenia Pappusa-Guldina.
Zad. 2
Rzeczywiście (chociaż można też tak, jak podajemy w poprawionej wersji odpowiedzi). Użyty przez nas poprzednio wzór na objętość beczki faktycznie nie da w naszym zadaniu prawidłowego wyniku (przepraszamy za zamieszanie!), chociaż wzór ten podaje encyklopedia WolframAlpha.com, która naszą bryłę uważa za beczkę... Podana tam definicja opisuje szerszą klasę brył niż te, których objętość można obliczyć, używając podanego tam wzoru. Z tego powodu w I wersji rozwiązania znalazł się błąd.
Zad. 2
Nie za bardzo rozumiem odpowiedź do zadania drugiego. Nie jest ona chyba do końca precyzyjna, ponieważ mamy w treści: "...których odległość od danego prostokąta o wymiarach 2×4 jest mniejsza niż 1". Kluczowym wyrażeniem jest tu "mniejsze niż 1". Wobec tego objętości tych brył należą do pewnwgo przedziału. Odległość możebyć równa 0 (jest wkońcu mniejsza niż 1) i otrzymamy pierwotny prostokąt, który po obrocie względem osi obrotu da nam zwykły walec. W przypadku, gdy odległość jest równa 1 (przedział otwarty) otrzymamy prostokąt, który zamiast naroży ma ćwiartki okręgów (taka rozciągnięta beczka). Po obrocie możemy go podzielić na walec środkowy, dwie ćwiartki (na dole i na górze) torusa, oraz walec z "wycięciem" okalający ten środkowy i znajdujący się pomiędzy torusami. Jeżeli opis jest mało czytelny mogę wrzucić rysunki.
Wydaje mi się...
Stwierdzenie "odległość mniejsza niż 1" oznacza zbiór wszystkich punktów, których odległość od prostokąta jest mniejsza niż jeden (to tzw. otoczka wypukła prostokąta - przypis redakcji). Tak samo opisujemy koło bez brzegu - to zbiór wszystkich punktów, których odległość od środka jest mniejsza od promienia. Pole koła jest równe polu koła bez brzegu, bo figury te różnią się okręgiem, czyli figurą o polu zero. Zatem pole to jest konkretną liczbą, a nie przedziałem liczbowym.