Zad. 1. Na okręgu zaznaczono w równych odległościach 20132014 punktów. Rysujemy łamaną, łącząc co 99. z nich, aż się zamknie. Jaki będzie miała kształt?
Zad. 2. Dodatnie liczby całkowite a1 < a2 < a3 < ... < a44 nie przekraczają 125.
Udowodnij, że wśród różnic ak – ak-1 (k=2, 3, ..., 44) pewna wartość występuje co najmniej 10 razy.
Zad. 3. Jaka jest najmniejsza wartość wyrażenia x6+x3 ?
Zadania z grudnia nie stanowiły dla naszych zawodników większej trudności, chociaż niektórzy podawali nieścisłe dowody w rozwiązaniu zad. 2 (nie uzasadniali, dlaczego rozpatrują tylko ciąg, w którym pierwszych 9 różnic to 1, następnych 9 to 2 itd.). Mimo to 3 pkt zdobyli: Krzysztof Bednarek z III LO we Wrocławiu, Robert Czwartosz z LO w Trzebnicy, Marcin Korona z XIV LO w Warszawie i debiutujący w Lidze Antoni Kamiński z III LO we Wrocławiu.
Po 2,5 pkt uzyskali: Kamila Bojar z ZSP w Szprotawie, Krzysztof Danielak z I LO w Jeleniej Górze (kolejny nowy zawodnik w Lidze LO!) oraz Tomasz Stempniak z I LO w Ostrowie Wlkp.
Na początku nowego roku najwyższy dorobek mają:
- (9 pkt na 9 możliwych) Robert Czwartosz (LO w Trzebnicy),
- (8,5 pkt) Tomasz Stempniak (I LO w Ostrowie Wlkp.),
- (7,5 pkt) Marcin Korona (XIV LO w Warszawie),
- (7 pkt) Piotr Dzierza (XIII LO we Wrocławiu),
- (6,5 pkt) Krzysztof Bednarek (III LO we Wrocławiu).
Wszystkim gratulujemy!
Zad. 1. Jak łatwo sprawdzić, 99 i 20132014 nie mają wspólnych dzielników większych od 1, zatem dopiero po narysowaniu odcinka nr 20132014 łamana się zamknie. Otrzymany kształt będzie 20132014-kątem gwiaździstym foremnym (symetryczną gwiazdą o tylu ramionach).
Zad. 2. Gdyby żadnych 10 różnic, o których mowa w zadaniu, nie miało tej samej wartości, to (ponieważ a1≥1, a wszystkie różnice muszą być dodatnie) a44 wynosiłoby co najmniej 1+9(1+2+3+4)+7·5=126, co nie jest możliwe, zatem dowiedliśmy tezy zadania.
Zad. 3. x6+x3 = (x3+0,5)2 − 0,25. Ponieważ x3 może przyjąć wartość -0,5, całe wyrażenie ma minimum równe 0−0,25 = −0,25.
