Zad. 1. Ania zauważyła, że wypisane przez nią liczby tworzą ciąg geometryczny, który ma parzystą liczbę wyrazów. Suma wyrazów o wskaźnikach parzystych wynosi 12, a suma wyrazów o wskaźnikach nieparzystych 24. Jaki iloraz ma ten ciąg?
Zad. 2. Suma kwadratów trzech kolejnych liczb nieparzystych jest liczbą czterocyfrową o jednakowych cyfrach. Wyznacz wszystkie trójki takich liczb nieparzystych.
Zad. 3. W pewnym trójkącie istnieje taki bok, którego długość jest średnią geometryczną długości dwóch pozostałych boków oraz taki, którego długość jest średnią arytmetyczną długości dwóch pozostałych boków. Jaki to typ trójkąta?
W listopadzie punkty zdobyli:
- 3 pkt. – Jakub Dobrzański I LO Lubin, Łukasz Goliczewski LO Góra, Alex Kalinowski LO Góra, Joanna Lisiowska XXI LO Warszawa, Wiktoria Malinowska XXVII LO Warszawa, Szymon Misiewicz CKZiU Strzelin, Julia Musiał II LO Tczew, Laura Stefanowska Katolickie LO Legnica, Michał Tokarski II LO Oleśnica, Piotr Zug I LO Olesno,
- 2,5 pkt. – Marcin Wiśniewski LO Ząbkowice Śląskie,
- 2 pkt. – Mikołaj Dyblik VII LO Wrocław, Mateusz Łakomiec LO XXVII LO Warszawa, Józef Sendor VII LO Wrocław, Adrian Szymański II LO Oleśnica i Jakub Wojciechowski XXVII LO Warszawa.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad.1. Na podstawie warunków zadania mamy: a1 + a3 + a5 + … + a2n-1= a1 + a1q2 + a1q4 + … + a1q2n-2= a1(1 + q2 + q4 + …+ q2n-2)=24 oraz a2 + a4 + a6 + … + a2n= a1q + a1q3 + a1q5 + … + a1q2n-1= a1q(1 + q2 + q4 + …+ q2n-2)=12, stąd wynika, ze 24q=12, czyli q=1/2.
Zad. 2. Niech n–2, n i n+2 będą trzema kolejnymi liczbami nieparzystymi. Zarówno ich kwadraty, jak i suma tych kwadratów też są nieparzyste. Wiemy, że (n–2)2 + n2 + (n+2)2 = 3n2+8 jest czterocyfrowa o jednakowych cyfrach, czyli równa się 1111k, gdzie k jest jednocyfrowe. Liczba 3n2 = 1111k–8 jest nieparzysta i podzielna przez 3, czyli k jest nieparzyste i 1111k daje resztę 2 z dzielenia przez 3. Warunek ten jest spełniony tylko dla k= 5. Wówczas n = 43 i jedynym rozwiązaniem jest trójka (41, 43, 45).
Zad. 3. Rozpatrzmy dwa przypadki: 1) Długość jednego z boków równa się średniej geometrycznej i średniej arytmetycznej długości dwóch pozostałych boków. 2) Długość jednego boku równa się średniej geometrycznej długości dwóch pozostałych, a długość innego boku - średniej arytmetycznej długości pozostałych. Oznaczmy przez a, b, c długości boków trójkąta. W pierwszym przypadku niech a = √(bc) oraz a=(b+c)/2. Stąd wynika, że b=c, a zatem a=b=c. W drugim przypadku niech a=√(bc) oraz b=(a+c)/2. Wtedy b = (√(bc)+c)/2. Jeśli b≤c, to ta wielkość jest większa lub równa (b+c)/2 ≥ b, a jeśli b≥c, to ta wielkość jest mniejsza lub równa (b+c)/2 ≤ b (bo średnia wypada zawsze pomiędzy mniejszą a większą liczbą). W obu przypadkach w nierównościach równości zachodzą wtedy i tylko wtedy, gdy b=c, a zatem gdy a=b=c. Zatem warunki zadania spełnia jedynie trójkąt równoboczny.
Czy wiesz, kto z wrocławskich matematyków został uwiecz-niony na tym znakomitym portrecie w piżamie? Kto jest autorem tego obrazu? Gdzie można go obejrzeć?
Jako młody chłopak Knaster ożenił się z poznaną w Paryżu Marią Morską - muzą Skaman-drytów (zm. w 1945 roku). W czasach wrocła-wskich jego drugą żoną była Regina Lewandowska. Pierwszej żonie Knastera poświęcona jest książka Hanny Faryny-Paszkiewicz "Opium życia".
Steinhaus twierdził, że nazwisko Knaster brzmi w dopeł-niaczu Knastra, a sam Knaster upierał się przy formie Knastera. 
