Zad. 1. O której godzinie po raz pierwszy po północy kąt między wskazówkami zegara wynosi 170°?
Zad. 2. Różnica dwóch liczb, ich suma oraz ich iloczyn pozostają w stosunku 1 : 4 : 15. Jakie to liczby?
Zad. 3. Na ile sposobów można zapisać liczbę 105 w postaci sumy dwóch lub większej liczby kolejnych liczb naturalnych?
W listopadzie punkty zdobyli:
- 3 – Szymon Bocheński SP 26 Kraków, Monika Budzeń SP 7 Leszno, Martyna Chromik SP 3 Cieszyn, Faustyna Doliwka SP Łobżenica, Mateusz Galik SP Arka, Maciej Hryniewicz SP 9 Gliwice, Aleksander Kiszkowiak SP 66 Warszawa, Paweł Lisztwan SP 3 Mikołów, Dominika Miturska SP 66 Warszawa, Joanna Nowakowska SP 3 Głogów, Wiktoria Pietrzak SP 3 Głogów, Wojciech Rachwał SP 2 Wieliczka, Oliwia Stańczyk SP Aslan Głogów, Alicja Szwarczyńska SP Kowalowa, Kacper Wereszczyńki SP Mieroszów, Dominika Wojdacz SP 11 Inowrocław, Miłosz Zakrzewski SP Gostycyn;
- 2 – Artur Bumażnik SP 1 Piechowice, Maciej Dworak SP 26 Kraków, Mateusz Koba SP 3 Cieszyn, Klara Kogut SP 9 Gliwice, Arkadiusz Piwowarczyk SP 14 Ostrowiec Świętokrzyski, Aniela Przystał SP Ciechów, Radosław Wypych SP 3 Mikołów, Anastasia Yakovleva SP 3 Mogilno, Amelia Żuczek SP 2 Wieliczka;
- 1 – Adrian Jasiński SP 42 Wrocław, Amelia Koczara SP 2 Wieliczka, Kacper Kozak SP Tyniec Mały, Michał Licznarowski SP 66 Warszawa, Kamila Łęska SP Aslan Głogów, Marta Pieczonka SP 3 Cieszyn, Bartosz Podlak SP 3 Cieszyn, Oliwia Raszewska SP 6 Boguszów-Gorce.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Wskazówka minutowa w ciągu minuty zakreśla kąt 6°, a godzinowa - kąt 0,5°. Niech x oznacza czas w minutach, jaki musi upłynąć, aby kąt między wskazówkami wynosił 170°. W tym czasie wskazówka minutowa zakreśli kąt 6x stopni, a godzinowa kąt 0,5x stopni i zajdzie równość 6x = 170+0,5x. Po uproszczeniu otrzymamy 6x–0,5x = 170º, skąd x = 3010/11 minut, zatem szukany kąt między wskazówkami powstanie o godz. 00:30 i 10/11 minuty.
Zad. 2. Oznaczmy szulane liczby przez a i b. Wówczas (a–b) : (a+b) : ab = 1 : 4 : 15, czyli (a–b):(a+b) = 1/4, a stąd 5b=3a. Podstawiając tę zależność do (a+b) : ab = 4/15, otrzymujemy 4/15 = 8/5b, zatem b=6 i a =10.
Zad. 3. Jeżeli suma n kolejnych liczb naturalnych wynosi 105, to ich średnia arytmetyczna wynosi 105:n. Jeśli n jest nieparzyste, to średnia jest liczbą środkową (a więc naturalną). Jeśli n jest parzyste, to średnia jest połową sumy dwóch liczb przyśrodkowych (a więc liczbą naturalną powiększoną o 0,5). Sprawdzamy kolejno: 105:2 = 52,5, czyli 105 = 52+53, dalej 105:3 = 35, czyli 105 = 34+35+36, dalej 105:4 = 26,25 i nie pasuje, 105:5 = 21, czyli 105 = 19+20+21+22+23 i tak dalej aż do 105:14 = 7,5, czyli 105 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14. Szukane wartości n to 2, 3, 5, 6, 7, 10 i 14. Liczby 4, 8, 9, 11 i 12 nie spełniają warunków zadania, bo 105:4=261/4, 105:8=131/8, 105:9=112/3, 105:11=96/11, 105:12=83/4, 105:13=81/13. Liczbę 105 zgodnie z warunkami możemy zapisać na 7 sposobów.
