luty 2012

Data ostatniej modyfikacji:
2012-03-21

Zad. 1. Paweł i Gaweł jeżdżą po torze kolarskim. Wystartowali jednocześnie, ale Paweł pokonuje okrążenie w 18 s, a Gaweł w ciągu 24 s. Po jakim czasie Paweł zdubluje Gawła?

Zad. 2. Rozwiąż kryptarytm: ABC·CB = ABCB.

Zad. 3. Ile wynosi promień najmniejszego koła, w którym zmieści się dowolny trójkąt o bokach długości nieprzekraczających 1?

 

Wyniki: 

Za rozwiązania zadań z lutego maksimum 3 pkt zdobyło podobnie jak w styczniu aż 18 Ligowiczów: Aleksandra Banach z Gim. im. Powstańców Wielkopolskich w Grodzisku Wlkp., Filip Barański z Gim. 13 w Wałbrzychu, Krzysztof Bednarek z Gim. 13 we Wrocławiu, Antonina Biela z Gim. w Strzelcach Opolskich, Szymon Budzyński z Gim. 3 we Wrocławiu, Daria Bumażnik z Gim. 1 w Jeleniej Górze, Bartosz Czyżewski z Gim. w ZSO nr 1 w Jeleniej Górze, Krzysztof Danielak z Gim. w ZSO nr 1 w Jeleniej Górze, Wojciech Górski z Gim. 2 w Oleśnie, Jakub Janicki z Gim. im. Polskich Olimpijczyków w Lewinie Brzeskim, Karolina Krzykawiak z Gim. 19 Wrocław, Natalia Marcinkiewicz z Gim. "Omega" w Katowicach, Magdalena Nowak z Gim. 33 w Krakowie, Aleksandra Polcyn z Gim. Akademickie w Toruniu, Adrian Słodziński z Gim. w Miliczu, Bartosz Sójka z Gim. w ZSO nr 1 w Jeleniej Górze, Magdalena Stroka z Gim. im. kard. Stefana Wyszyńskiego w Zdzieszowicach, Michał Turniak z Gim. 49 we Wrocławiu.

Oto obecna czołówka Ligi:

  • (z 15 pkt na 15 możliwych) Antonina Biela z Gim. w Strzelcach Opolskich, Szymon Budzyński z Gim. 3 we Wrocławiu, Bartosz Czyżewski z Gim. w ZSO nr 1 w Jeleniej Górze, Wojciech Górski z Gim. 2 w Oleśnie, Jakub Janicki z Gim. w Lewinie Brzeskim, Karolina Krzykawiak z Gim. 19 we Wrocławiu, Natalia Marcinkiewicz z Gim. "Omega" w Katowicach, Magdalena Nowak z Gim. 33 w Krakowie i Adrian Słodziński z Gim. w Miliczu,
  • (z 14,5 pkt) Piotr Dzierza z Gim. w Miękini, Aleksandra Polcyn z Gim. Akademickiego w Toruniu, Michał Turniak z Gim. 49 we Wrocławiu,
  • (z 14 pkt) - Agata Kuć z Gim. 6 w Płocku,
  • (z 13,5 pkt) - Mieszko Gałat z Gim. 50 w Bydgoszczy i Krzysztof Bednarek z Gim. 13 we Wrocławiu.

Gratulujemy wszystkim!

 

Odpowiedzi: 

Zad. 1. Po czasie t sekund Paweł ma za sobą t/18 toru, a Gaweł - t/24. Szukamy takiego t, że t/18 = t/24 + 1, co oznacza 24t=18t+24·18, czyli 6t=24·18, czyli t=4·18=72.

Zad. 2. (Przez XYZ oznaczamy liczbę o takim zapisie dziesiętnym). Zauważmy, że ABC·CB = 10ABC+B, zatem C nie może być większe niż 1, a że jest początkową cyfrą liczby CB, jest w takim razie jedynką i mamy równoważnie AB1·B = B, co daje B=0. Rozwiązanie stanowią więc wszystkie trójki (A, 0, 1), przy czym A jest cyfrą różną od 0 (bo zaczyna liczbę ABC) i 1 (zgodnie z zasadami kryptarytmu).

Zad. 3. Jeśli najdłuższy bok takiego trójkąta oznaczymy przez AB, to cały trójkąt musi być zawarty w części wspólnej kół o promieniu AB i środkach w A i B. Oznaczmy połowę tej figury (leżącą po jednej stronie odcinka AB) przez F. Niech Ś będzie środkiem ciężkości trójkąta równobocznego zawartego w F. Wówczas F zawiera się w kole o środku Ś i promieniu równym , czyli AB√3/3, i jest to najmniejsze koło, o jakie chodzi w zadaniu, bo wyjściowy trójkąt może być trójkątem równobocznym o boku 1, a wówczas szukanym kołem jest koło na nim opisane (czyli odpowiedzią jest √3/3).

 

Powrót na górę strony