styczeń 2012

styczeń 2012

Data ostatniej modyfikacji:
2012-02-16

Zad. 1. Rozwiąż kryptarytm: ABCD·CB = ABCB.

Zad. 2. Czworokąt PIES jest kwadratem. Punkt K leży w jego wnętrzu, tak że PIK jest trójkątem równobocznym. Prosta SK przecina odcinek EI w punkcie O. Jaką miarę ma kąt OKI?

Zad. 3. Ile jest napisów długości 10 złożonych z samych zer i jedynek, jeśli trzeba użyć w nich przynajmniej jednej jedynki i przynajmniej jednego zera?

Wyniki:

Pierwsza seria zadań w nowym roku dała 3 pkt aż osiemnaściorgu Ligowiczów: Filipowi Barańskiemu, Antoninie Bieli, Szymonowi Budzyńskiemu, Darii Bumażnik, Bartoszowi Czyżewskiemu, Piotrowi Dzierzy, Mieszkowi Gałatowi, Wojciechowi Górskiemu, Jakubowi Janickiemu, Karolinie Krzykawiak, Agacie Kuć, Natalii Marcinkiewicz, Magdalenie Nowak, Aleksandrze Polcyn, Adrianowi Słodzińskiemu, Magdalenie Stroce, Michałowi Turniakowi i Wojciechowi Wiśniewskiemu.

Tym samym czołówkę rankingu Ligi Gimnazjów stanowią:

z 12 pkt na 12 możliwych - Antonina Biela z Gim. w Strzelcach Opolskich, Szymon Budzyński z Gim. 3 we Wrocławiu, Bartosz Czyżewski z Gim. w ZSO nr 1 w Jeleniej Górze, Piotr Dzierza z Gim. w Miękini, Wojciech Górski z Gim. 2 w Oleśnie, Jakub Janicki, Karolina Krzykawiak z Gim. 19 we Wrocławiu, Natalia Marcinkiewicz z Gim. "Omega" w Katowicach, Magdalena Nowak z Gim. 33 w Krakowie i Adrian Słodziński z Gim. w Miliczu,
z 11,5 pkt - Agata Kuć z Gim. 6 w Płocku, Aleksandra Polcyn z Gim. Akademickiego w Toruniu, Michał Turniak z Gim. 49 we Wrocławiu,
z 11 pkt - Mieszko Gałat z Gim. 50 w Bydgoszczy,
z 10,5 pkt - Krzysztof Bednarek z Gim. 13 we Wrocławiu.

Serdecznie gratulujemy wszystkim!

Odpowiedzi:

Zad. 1. ABCD stanowi liczbę czterocyfrową, więc jej iloczyn przez dwucyfrową CB będzie co najmniej pięciocyfrowy, dany kryptarytm nie ma zatem rozwiązań.

Zad. 2. Z równoboczności trójkąta PIK odcinki PK i PI są przystające, ale PI i PS są też równej długości, bo PIES jest kwadratem, zatem PKS jest trójkątem równoramiennym i kąty PKS i PSK mają równe miary. Kąt KPS ma miarę 30°, więc pozostałe dwa mają po (180−30)°/2 = 75°. Wówczas, ponieważ kąt OKI to różnica kąta SKO i sumy kątów PKS i PKI, jego miara wynosi 45°.

Zad. 3. Pierwszą cyfrę można wybrać na dwa sposoby, niezależnie od tego wyboru, drugą również może być 0 i 1; niezależnie od pierwszych dwóch jako trzecią również można wybrać dowolnie 0 lub 1, otrzymując różne napisy, itd. Ostatecznie wszystko napisów zero-jedynkowych długości 10 jest 2·2·2·2·2·2·2·2·2·2 = 2¹⁰ = 1024, ale dwa z nich (0000000000 i 1111111111) są niedozwolone, więc odpowiedzią jest 1022.