W tym miesiącu dla odmiany zadania będą dotyczyły gry w domino. O jej pochodzeniu niewiele wiadomo, ale istnieją artefakty świadczące o tym, że była znana starożytnym Grekom, Hebrajczykom i Chińczykom. W Europie rozpowszechniła się w XVIII wieku. Jej miłośnikiem był angielski matematyk Rouse Ball.
Zestaw do gry składa się z prostokątnych płytek (stosunek długości boków wynosi 2:1) zwanych kamieniami. Każda płytka podzielona jest na dwa kwadraty, a w każdym z nich umieszczona jest pewna liczba oczek (w zestawie standardowym od 0 do 6). Wśród nich jest 8 pól pustych (są to tzw. mydła), 8 jedynek (zwanych asami) oraz po 8 dwójek, trójek, czwórek, piątek i szóstek. Każde pole występuje w parze z każdym innym i żaden układ pól na kamieniu nie powtarza się dwukrotnie. Jeśli liczba oczek na obu połówkach kamienia jest taka sama, kamień nazywa się dubletem. Standardowe domina spotykane sa powszechnie we Francji, w Polsce i we Włoszech. W Rosji grywa się w domino z oczkami do 7, w Anglii i Niemczech do 8, w Szwecji do 9 lub nawet do 12.
Zasady gry
Istnieją co najmniej cztery popularne sposoby gry w domino, ale i one mają wiele odmian. Mimo że z pozoru gra wygląda na prostą, można w niej odkryć wiele ciekawych kombinacji i głębszych powiązań. Opiszemy tu najprostszy wariant.
W rozgrywce bierze udział dwóch, trzech lub czterech zawodników, którzy losują po równej liczbie kamieni (zwykle nie większej niż 7), nie ujawniając ich zawartości przeciwnikom. Pozostałe w puli kamienie służą do późniejszego dobierania, czyli tzw. połowu. Gracz otwierający wykłada dowolny kamień, a każdy kolejny musi przystawić do jednej z wolnych połówek kamień przylegający polem z taką samą liczbą oczek. Gdy któryś z graczy nie może wykonać ruchu, dobiera losowo (czyli łowi) kamień z puli, a jeśli pula się wyczerpie, pasuje (czyli dąsa się). Wygrywa gracz, który pierwszy pozbędzie się swoich kamieni. Zdobywa wówczas tyle punktów, ile wynosi suma oczek na kamieniach u pozostałych graczy.
Gra może się też zakończyć przez zamknięcie, kiedy żaden z graczy nie pozbył się jeszcze swoich kamieni, ale żaden nie może już wykonać ruchu. Wówczas zwycięzcą jest ten, kto na pozostałych w ręku kamieniach ma najmniej oczek. Zdobywa wówczas tyle punktów, ile wynosi różnica sumy oczek na kamieniach u pozostałych graczy i pozostałych u niego. Grę można oczywiście zamknąć celowo, np. gdy podczas rozgrywki zawodnik zauważy, że ciąg wyłożonych już kamieni kończy się z jednej strony piątką, a z drugiej dwójką, na stole leży już sześć piątek, a on ma w ręku kamień 5-2, wtedy dokładając go do dwójki, zamyka grę.
Zad. 1. Ile kamieni zawiera standardowy zestaw domina, a ile maksymalny zestaw szwedzki? Ile wynoszą sumy oczek kamieni w tych zestawach?
Zad. 2. Jaka może być teoretycznie najwyższa możliwa wygrana punktowa przez zamknięcie gry w rozgrywce dwóch graczy? Podaj odpowiadający jej ciąg wyłożonych kamieni i końcową zawartość kamieni na ręce każdego z graczy.
Zad. 3. W rozgrywce czterech graczy pierwszy otrzymał następujące kamienie: 0-0, 1-0, 2-0, 3-0, 4-1, 5-1 i 6-1, a czwarty pozostałe asy i mydła oraz dowolny inny kamień. Reszta przypadła graczom drugiemu i trzeciemu. Pierwszy gracz rozpoczyna grę. Jak powinien zagrać w I ruchu i jak odpowiadać w kolejnych ruchach na zagrywki przeciwników, aby wygrać przez pozbycie się wszystkich kamieni i zdobyć maksymalnie dużo punktów?
Zadanie dodatkowe. W rozgrywce trzech graczy podaj początkowy rozkład kamieni (po 9 na ręce każdego gracza i jeden kamień neutralny otwierający grę) oraz opisz sposób gry pierwszego gracza, które zapewnią mu najwyższą wygraną przez pozbycie się wszystkich kamieni.
Punktacja. Najlepsze rozwiązanie otrzyma 10 punktów, drugie w kolejności będzie warte 9 punktów itd.
W tym miesiącu punkty za zad. 1-3 zdobyli:
- 2,5 pkt. Andrzej Piasecki (administrator IT z Oleśnicy),
- 2 pkt. - Robert Czwartosz (student PWr), Krystyna Lisiowska (redaktor z Warszawy), Sławomir Matysiak (nauczyciel z Trzebnicy), Karol Stanclik LA PWr Wrocław, Wojciech Tomiczek (inżynier z Lipowej), Marzena Wąsiewicz (gospodyni domowa z Kajetan),
- 1,5 pkt. - Mikołaj Bilski SP 6 Jelenia Góra,
- 1 pkt. - Daria Bumażnik (studentka chemii i toksykologii sądowej na UWr), Szymon Meyer (student matematyki na PWr), Marcin Wolak I LO Kraków,
- 0,5 pkt. - Krzysztof Danielak (student informatyki przemysłowej na PWr), Maja Dziwok I LO Katowice.
Punkty za zadanie dodatkowe zdobyli:
- 10 pkt. - Karol Stanclik (102)
- 9 pkt. - Robert Czwartosz (94)
- 8 pkt. - Andrzej Piasecki (92)
- 7 pkt. - Marzena Wąsiewicz (85)
- 6 pkt. - Krystyna Lisiowska (81)
- 3 pkt. - Szymon Meyer (39)
- 1 pkt. - Marcin Wolak (11).
Po pięciu miesiącach trwania Ligi w czołówce znajdują się:
Zad. 1. Na kamieniu są dwie pozycje. Pierwszą wybieramy na 7 sposobów (od 0 do 6) i drugą na 7, co daje 49 kamieni, ale (poza dubletami) są wśród nich ustawienia symetryczne, dające ten sam kamień. Zatem trzeba podzielić liczbę niedubletów przez 2. Stąd kamieni jest 7 + (49–7)/2 = 28. W maksymalnym zestawie szwedzkim jest 13 + (169–13)/2 = 91 kamieni. Ogólnie domino z najwyższym dubletem n-n ma (n+1)(n+2)/2 kamienie.
W standardowym komplecie domina każda liczba oczek występuje raz z każdą inną, czyli np. szóstka występuje 8 razy (na 7 kamieniach, przy czym na jednym dwukrotnie). 8·(1+2+3+4+5+6) = 168. W maksymalnym komplecie szwedzkim ta suma to 14·(1+2+...+12) = 1092. Ogólnie domino z najwyższym dubletem n-n ma sumę oczek równą n(n+1)(n+2)/2.
Zad. 2. Najkrótszy łańcuch wyłożony w grze zakończonej przez zamknięcie składa się z 10 kamieni, a minimalna suma jego oczek to 8·0+2·(1+2+3+4+5+6) = 42. Graczowi wygrywającemu musi pozostać jakiś kamień (inaczej nie byłoby zamknięcia). Minimalnie może to być 1-1. Jeśli pozostałe kamienie mogą pozostać u przeciwnika, to będzie on miał na zakończenie gry 168-42-2 = 124 oczka, co oznacza, że gracz wygrywający może otrzymać maksymalnie 122 pkt. Pozostaje sprawdzić, czy taka rozgrywka jest możliwa do przeprowadzenia. Okazuje się, że nie (gracz przegrany musiałby stale dobierać kamienie, a tymczasem już w III kolejce musi posiadać kamień do wyłożenia).
Oto konstrukcja optymalnej rozgrywki:
kamienie początkowe gracza I: 0-1, 0-2, 0-3, 0-4, 0-5, 0-6, 2-3
kamienie początkowe gracza II: 6-6, 6-5, 6-4, 5-5, 6-1, 5-1, 4-1
rozgrywka:
1 kolejka: I wykłada 0-2, II dobiera 5-4
2 kolejka: I wykłada 2-3, II dobiera 6-2
3 kolejka: I wykłada 3-0, II dobiera 6-3
4 kolejka: I wykłada 0-5, II wykłada 5-6
5 kolejka: I wykłada 6-0, II dobiera 5-3
6 kolejka: I wykłada 0-4, II wykłada 4-1
7 kolejka: I wykłada 1-0, II dobiera 4-4
W tym momencie łańcuch jest zakończony z obu stron zerami, ale gra nie jest zamknięta.
8 kolejka: I dobiera 1-1, II dobiera 5-2
Gdyby teraz I gracz dołowił 0-0, zamknąłby grę, ale w puli zostałoby jeszcze 6 kamieni (4-3, 4-2, 3-3, 3-1, 2-2, 2-1), warto więc kontynuować grę.
9 kolejka: I dobiera 1-2, II dobiera 4-3
10 kolejka: I dobiera 2-2, II dobiera 4-2
11 kolejka: I dobiera 1-3, II dobiera 3-3
12 kolejka: I dobiera 0-0 i zamyka grę.
Na stole pozostaje układ: 0-2, 2-3, 3-0, 0-5, 5-6, 6-0, 0-4, 4-1, 1-0, 0-0 (suma oczek 42). W ręku gracza I zostały kamienie: 1-1, 1-2, 2-2, 1-3 (suma oczek 13), a w ręku gracza II suma oczek wynosi 168-42-13 = 113, zatem I gracz otrzymuje 100 pkt. Można uzyskać inne łańcuchy kamieni na stole przy zachowaniu tych samych kamieni pozostających po grze u każdego z graczy.
Zad. 3. Maksymalna wygrana wynosi 120. W rozgrywce zostanie wyłożone 13 podanych w treści kamienie (ich suma oczek wynosi 48), gracz IV zostanie ze swoim ostatnim (nieznanym) kamieniem, a pozostali nic nie wyłożą. Stąd po zakończeniu gry przez I gracza w rękach pozostałych zostanie 168-48 = 120 oczek.
opis rozgrywki:
1 kolejka: I wykłada 0-0, II i III dąsają się, IV wykłada dowolne mydło
2 kolejka: I wykłada asa pasującego do mydła, II i III dąsają się, IV wykłada dowolnego asa
3 kolejka: I wykłada mydło pasujące do asa, II i III dąsają się, IV wykłada dowolne z pozostalych mydeł,
4 kolejka: I wykłada asa pasującego do mydła, II i III dąsają się, IV wykłada dowolnego asa
5 kolejka: I wykłada mydło pasujące do asa, II i III dąsają się, IV wykłada dowolne z pozostałych mydeł,
6 kolejka: I wykłada asa pasującego do mydła, II i III dąsają się, IV wykłada ostatniego asa
7 kolejka: I wykłada mydło pasujące do asa i kończy grę.
Można ułożyć podobne rozgrywki z innego zestawu początkowych kamieni, ale nie da się osiągnąć wyższego wyniku przy pozbyciu się wszystkich kamieni. Dlatego ta rozgrywka nosi nazwę największy cios.
Zadanie dodatkowe
Zadanie polega na odnalezieniu największego ciosu w rozgrywce trzech graczy.
początkowe kamienie gracza I: 0-0, 0-1, 0-2, 0-3, 0-4, 0-5, 1-2, 1-3, 1-6
początkowe kamienie gracza II: 2-3, 2-4, 2-5, 2-6, 4-4, 4-5, 4-6, 5-5, 5-6
początkowe kamienie gracza III: 1-1, 1-4, 1-5, 2-2, 3-3, 3-4, 3-5, 3-6, 6-6
kamień otwierający: 0-6
przykładowa rozgrywka:
1 kolejka: I wykłada 6-1, II dąsa się, III wykłada dowolnego asa
2 kolejka: I wykłada mydło pasujące do asa (dla 1-1 wykłada 0-0), II i III dąsają się
3 kolejka: I wykłada 0-1, II dąsa się, III wykłada kolejnego asa
4 kolejka: I wykłada mydło pasujące do asa, II i III dąsają się
5 kolejka: I wykłada 0-3, II wykłada 3-2, III wykłada 2-2
6 kolejka: I wykłada 2-1, II dąsa się, III wykłada 1-1 lub dąsą się,
7 kolejka: wykłada 1-3, II dąsa się, III wykłada 3-6,
8 kolejka: wykłada 0-0 (jeśli nie poszło wcześniej), II i III dąsają się
9 kolejka: I wykłada 0-2 i kończy grę.
Suma oczek kamieni na stole wynosi 66, więc wygrana gracza I to 168-66 =102.
Tradycja bożo-narodzeniowych jarmarków we Wrocławiu sięga XVI wieku. Jedną z ich atrakcji bywała dawniej "legnicka bomba". Co to było? 
