luty 2018

Data ostatniej modyfikacji:
2018-09-17

Zad. 1. Cenę myszki do komputera podwyższono o 20%. W tym celu wystarczyło zmienić kolejność cyfr. Ile kosztuje teraz myszka, jeżeli wiadomo, że cena jej jest niższa od 100 zł i wyraża się w pełnych złotówkach?

Zad. 2. Lena pomnożyła trzy liczby naturalne i otrzymała 5400. Ani pierwsza, ani druga liczba nie dzielą się przez dwa, ani druga, ani trzecia nie dzielą się przez trzy, a ani pierwsza, ani trzecia nie dzielą się przez 5. Jakie to liczby?

Zad. 3. Ile jest liczb naturalnych n, takich że miara kąta wewnętrznego n-kąta foremnego wyraża się całkowitą liczbą stopni?

 

Wyniki: 

W lutym punkty zdobyli:

  • 3 pkt.Aleksandra Pilch G1 w Strzyżowie, Wojciech Szwarczyński PSP Kowalowa, Maksymilian Szczepaniak SP Siechnice, Piotr Zug SP 1 Borki Wielkie, Maciej Michoń MZS Strzyżowa, Jerzy Wąsiewicz Publiczna Katolicka SP Magdalenka, Hubert Bączyk G 1 Swarzędz, Oliwer Rum PG 1 Głogówek, Gabriela Godek SP 2 Strzyżów, Kosma Kasprzak G 58 Poznań, Gabriela Pietras PSP Leszczyna, Marta Sibielec G 48 Wrocław, Agata Lefler ZSS Wołów, Tomasz Lefler ZSS Wołów, Laura Stefanowska G Legnica i Igor Wojtasik SP11 Jelenia Góra; 
  • 2,5 pkt.Kacper Woszczek PSP Mieroszów, Wiktoria Cymerman G-Europejskie Zgorzelec i Jakub Dubiel SP 5 Wrocław, Patrycja Zakrzewska G Tuchola; 
  • 2 pkt.Bartosz Nodzak SP 152 Łódź , Yaroslav Mykuliak SP 1 Wrocław, Angelika Goska G Rzeczyca i Joanna Galik SP 5 Wrocław; 
  • 1 pkt.Filip Czarnik MZS Strzyżów, Jakub Perek G Rzeczyca i Kuba Domagała G 1 Swarzędz.

Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.

 

Odpowiedzi: 

Zad. 1. Cena myszki jest liczbą dwucyfrową. Możemy ją zapisać jako 10a + b (a i b to liczby całkowite od 1 do 9, b może też być zerem). Na podstawie warunków zadania mamy 1,2(10a+b) = 10b + a, skąd otrzymujemy 110a = 88b, Gdy a=4,to b = 5 i tylko w tym przypadku obie liczby są całkowite. Myszka kosztuje 54 zł. 

Zad. 2. Rozkładając 5400 na iloczyn liczb pierwszych, otrzymujemy 2·2·2·3·3·3·5·5.
Szukane liczby to 3·3·3 = 27, 5·5 = 25 i 2·2·2 = 8.

Zad. 3. Dowolny n-kąt foremny (n≥ 3) można podzielić promieniami okręgu na nim opisanego na n trójkątów przystających. Suma miar kątów wewnętrznych n-kąta jest równa sumie miar kątów tych wszystkich trójkątów pomniejszonej o miarę kąta pełnego (w środku), czyli Sn = n·180° – 360°. Miara pojedynczego kąta wewnętrznego n-kąta foremnego jest więc równa α= Sn/n = 180° – 360°/n. Aby αn było liczbą całkowitą, n musi dzielić 360, a ponieważ n≥3, warunki zadania spełniają 22 liczby:
     4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180 i 360. 

 

Powrót na górę strony