Zad. 1. Kwadraty w tabelce nazywamy przyległymi, jeżeli znajdują się jeden obok drugiego w linii poziomej lub pionowej. Rozmieść w tej tabelce cyfry od 1 do 9 w taki sposób, żeby suma różnic między przyległymi parami była jak najmniejsza.
Zad. 2. Oznaczmy kropki na tarczy zegara oznaczające godziny 12, 2, 3, 6, 8 i 9 odpowiednio literami A, B, C, D, E, F. Oblicz stosunek pół czworokątów ABCD i ACDF.
Zad. 3. Znajdź wszystkie prostopadłościany o wymiarach całkowitych, których pole powierzchni jest równe polu powierzchni sześcianu o krawędzi 4.
W lutym punkty zdobyli:
• 3 – Gabriela Pułecka V LO Wrocław;
• 2,5 – Artur Bumażnik ZSE Jelenia Góra, Emilia Cichowska II LO Lubin, Zuzanna Czapiewska ZSB Słupsk, Jagoda Janiś LO Góra, Joanna Nowakowska LO Aslan Głogów, Liliana Ottlik III LO Wrocław, Stanisław Pająk LO Żary, Mieszko Ratajczak II LO Głogów, Cezary Rębiś ZSE Radom, Miłosz Zakrzewski LO Tuchola;
• 2 – Oliwier Roszkowski X LO Wrocław.
• 1,5 – Mikołaj Idzikowski I LO Ostrzeszów, Paweł Prasal III LO Leszno, Paulina Wójcik LO Dobrzeń Wielki.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Najmniesza możliwa suma różnic między przyległymi parami wynosi 2·9+6 = 24. Wartość tę realizują poniższe ustawienia (rózniące się jedynie transpozycją wierszy i kolumn oraz ich permutacją).
Zad. 2. Czworokąt ABCD składa się z trzech trójkątów: równobocznego OAB o boku długości r, równoramiennego o ramionach długości r i kącie 30° między nimi oraz równoramiennego prostokątnego o ramionach długości r. Pola tych trójkątów wynoszą odpowiednio: [tex] \frac{r^2\sqrt{3}}{4} [/tex], [tex] \frac{r^2}{4} [/tex] i [tex] \frac{r^2}{2} [/tex]. Suma tych pól wynosi [tex] \frac{r^2(3+\sqrt{3})}{4} [/tex]. Stosunek pól czworokątów ABCD i ACDF wynosi [tex] \frac{3+\sqrt{3}}{8}[/tex].
Zad. 3. Pole powierzchni sześcianu o krawędzi 4 wynosi 6·4·4 = 96. Szukamy prostopadłościanu o wymiarach całkowitych dodatnich x na y na z (gdzie x≤y≤z), którego pole powierzchnia wynosi 2(xy+xz+yz)= 96, czyli xy+xz+yz = 48. Dla x=1 otrzymujemy y+z+yz = 48, skąd po równoważnych przekształceniach otrzymujemy y+yz+z+1 = 49 i dalej y(z+1)+(z+1) = 49, czyli (y+1)(z+1) = 49. Rozwiązując to równanie w parach liczb naturalnych, otrzymujemy równoważną mu alternatywę układów równań: y+1=1, z+1=49 lub y+1=7, z+1=7, co daje ostatecznie trójkę (1, 6, 6). Postępując podobnie dla x=2, x=3 i x=4 (dlaczego to wystarczy?), otrzymamy kolejne
odpowiedzi (2, 2, 11) i (4, 4, 4).
To zabawny samouczek, który zaczynając się niewinnie intrygującą historyjką, krok po kroku, poczynając od najłatwiejszych łamigłówek, prowadzi nas w szpony, nie bójmy się użyć tego słowa, uzależnienia.
