Zad. 1. Marek rzucił czterema kostkami do gry i okazało się, że iloczyn otrzymanych liczb oczek dzieli się przez 3. Jaka mogła być suma tych liczb?
Zad. 2. Część ułamkowa liczby dodatniej to to, co zostaje z niej po odcięciu mieszczących się w niej całości. Np. częścią ułamkową liczby 2011/3 jest 1/3 (bo 2011/3 = 670 całych i 1/3), a część ułamkowa liczby 3/2011 to 3/2011 (bo mieści się w niej 0 całości). Ile wynosi suma części ułamkowych wszystkich ułamków, których liczniki i mianowniki są liczbami jednocyfrowymi różnymi od zera
(tzn. liczb 1/1, 1/2, 1/3, ..., 1/9, 2/1, 2/2, 2/3, ..., 2/9, 3/1, 3/2, 3/3, ..., 3/9, ..., 9/1, 9/2, 9/3, ... i 9/9)?
Zad. 3. Wewnątrz kwadratu ABCD znaleziono punkt O, taki że ABO jest trójkątem równobocznym. Przez punkty C i O poprowadzono prostą. Przecięła ona odcinek AD w punkcie L. Jaką miarę ma kąt AOL?
Bezbłędne rozwiązania zadań z maja nadesłali i po 3 pkt otrzymali: Gabriela Bać, Kacper Barański, Maciek Bartosik, Martyna Bużek, Aleksandra Ciechanowska, Bartosz Czyżewski, Anna Górska, Dominik Hawryluk, Paulina Jacykowska, Sylwia Jurek, Tomasz Kuśmierczyk, Joanna Lisiowska, Korneliusz Litman, Magda Minkiewicz, Katarzyna Nizińska, Adrian Pietrzak, Piotr Polut, Sylwia Rączy, Mateusz Rzepecki, Barbara Słodzińska, Klaudia Sobkowicz, Kajetan Wilczak oraz Monika Willamowska. 2,5 pkt przyznaliśmy Klaudii Marcinkiewicz.
Po uwzględnieniu tych wyników maksymalny sumaryczny wynik (24 pkt) mają: Gabriela Bać z SP w Racławówce, Bartosz Czyżewski z SP 6 w Jeleniej Górze, Anna Górska z SP 2 w Oleśnie, Paulina Jacykowska z SP Lauder Etz-Chaim we Wrocławiu, Sylwia Jurek z SP w Iłowie, Tomasz Kuśmierczyk z SP 24 we Wrocławiu, Korneliusz Litman z SP 45 w Białymstoku, Magda Minkiewicz z SP 46 we Wrocławiu, Barbara Słodzińska z SP 2 w Miliczu oraz Kajetan Wilczak z SP 7 w Sochaczewie.
Gratulujemy!
Zad. 1. Jeśli iloczyn jest podzielny przez trzy, to na co najmniej jednej kostce wypadła trójka lub szóstka. Trzy pozostałe kostki dają sumę oczek równą co najmniej 3 (same jedynki), a zwiększając o 1 liczby oczek na kolejnych kostkach, można uzyskać kolejne liczby naturalne do 18 (same szóstki). Dodając liczbę oczek z kostki uwzględnionej na początku, otrzymujemy możliwe sumy: 6, 7, 8, ..., 24.
Zad. 2. Części ułamkowe liczb o mianowniku 1 to 0, części ułamkowe kolejnych liczb o mianowniku 2 to na zmianę 1/2, 0, 1/2, 0, ..., 1/2 - w sumie 5/2, części ułamkowe kolejnych liczb o mianowniku 3 to 1/3, 2/3, 0, 1/3, 2/3, 0, 1/3, 2/3, 0 - w sumie 3, części ułamkowe kolejnych liczb o mianowniku 4 to 1/4, 2/4, 3/4, 0, 1/4, 2/4, 3/4, 0, 1/4 - w sumie 31/4, części ułamkowe kolejnych liczb o mianowniku 5 to 1/5, 2/5, 3/5, 4/5, 0, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5 - w sumie 4, części ułamkowe kolejnych liczb o mianowniku 6 to 1/6, 2/6, 3/6, 4/6, 5/6, 0, 1/6, 2/6, 3/6 - w sumie 31/2, części ułamkowe kolejnych liczb o mianowniku 7 to 1/7, 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 6/7, 0, 1/7, 2/7 - w sumie 33/7, części ułamkowe kolejnych liczb o mianowniku 8 to 1/8, 2/8, 3/8, 4/8, 5/8, 6/8, 7/8, 0, 1/8 - w sumie 35/8, części ułamkowe kolejnych liczb o mianowniku 9 to 1/9, 2/9, 3/9, 4/9, 5/9, 6/9, 7/9, 8/9, 0 - w sumie 4. Szukana suma to zatem 21/2+3+31/4+4+31/2+33/7+35/8+4 = 26+1/4+3/7+5/8 = 2717/56.
Zad. 3. Kąt ABO ma 60º (trójkąt równoboczny), więc OBC - 30º. OBC jest trójkątem równoramiennym, więc kąt BCO (przy podstawie) ma 75º, zatem CLD też (bo odcinki BC i AD są równoległe). Stąd z kolei miara kąta ALO to 105º, a że kąt DAO mierzy 30º (podobnie jak OBC), ostatecznie otrzymujemy odpowiedź: 180º-135º = 45º.
Zad. 1
W 1 zadaniu jest pytanie: "Jaka mogła być suma tych liczb?". Przecież
takich sum jest dużo. Mamy podać jedną, wybraną czy te wszystkie?
Jaka mogła być
"Jaka mogła być..." Chodzi dokładnie o jedną, czyli 3333.
Suma
Jak według ciebie mogła wyjść suma 3333?
Rozwiązanie zadania
W każdym zadaniu matematycznym jest tak, że aby je rozwiązać, należy podać wszystkie liczby (figury lub inne obiekty), które spełniają warunki zadania, i uzasadnić, że innych już być nie może.