maj 2012

maj 2012

Data ostatniej modyfikacji:
2012-06-15

Zad. 1. Dla jakich p istnieje opisany na okręgu jednostkowym deltoid, na którym można opisać okrąg o promieniu p?

Zad. 2. Teleturniej "Herlock Sholmes" polega na zgadnięciu wylosowanej superkomputerem liczby naturalnej z przedziału <1, n>, przy czym zgadujący po każdej próbie dowiaduje się, czy podana przez niego liczba jest właściwa, za duża, czy za mała. Jakie jest maksymalne n, przy którym zawodnik ma możliwość wygrania (tzn. usłyszenia odpowiedzi "To ta!") najpóźniej w 11. próbie?

Zad. 3. Podaj liczbę 100-wyrazowych malejących wariacji zbioru {1, 2, 3, ..., 2012}.

Wyniki:

Zadania majowe nie były łatwe. Maksymalną ocenę (3 pkt) przyznaliśmy tylko Aleksandrze Grzelak, Markowi Mice, Wojciechowi Tobisiowi i Arkadiuszowi Wróblowi.

Czołówka Ligi istotnie się nie zmieniła:

z 23,5 pkt (na 24 możliwe!) - Marek Mika z II LO w Opolu, Wojciech Tobiś z I LO w Oleśnie i Arkadiusz Wróbel z XIV LO w Warszawie,
z 22,5 pkt - Aleksandra Grzelak z II LO w Opolu,
z 21,5 pkt - Adam Balawender z ZSO w Strzegomiu,
z 20 pkt - Jakub Sobyra z I LO w Tarnowie,
z 18,5 pkt - Bartosz Pawliczak z LO w Górze.

Wszystkim gratulujemy!

Odpowiedzi:

Zad. 1. Ponieważ deltoid ma oś symetrii zawierającą jedną z jego przekątnych, jest ona średnicą okręgu na nim opisanego i dzieli go na dwa trójkąty prostokątne. Oznaczmy jego wierzchołki literami A, B, C i D, tak by przekątną tą był odcinek AC. Niech O oznacza środek okręgu wpisanego w deltoid, a P i Q - jego rzuty na odpowiednio AB i BC. Figura OPBQ jest kwadratem o boku 1, a AP/OP = AB/BC. Jeśli AP oznaczyć przez x, to mamy zatem: x/1=(x+1)/(CQ+1), skąd CQ=1/x, więc AC=√(AP²+OP²)+√(CQ²+OQ²)=√(1+x²)+√(1+1/x²). Wyrażenie to jest ciągłą funkcją x, które może być dowolne dodatnie, łatwo więc zauważyć, że zbiór jego wartości jest postaci [y₀, ∞) i wystarczy tylko znaleźć y₀. (Ciągłość i nieograniczoność AC(x) widać zresztą również bez rachunków, geometrycznie). AC'(x)=x/√(1+x²)-1/(x³·√(1+1/x²))=0 <=> x=1/x³, co w dziedzinie oznacza x=1, czyli minimalną długością AC jest 2√2, co oznacza, że szukane w zadaniu p tworzą zbiór [√2, ∞).

Zad. 2. Przy jednym strzale można ustalić jedną z trzech liczb (wymieniamy środkową z nich i dowiadujemy się, czy to ta, czy mniejsza od niej, czy większa). Mając do dyspozycji dwa pytania, można więc ustalić jedną z 2·3+1 = 7 liczb (analogicznie jak poprzednio: wymieniamy środkową i dowiadujemy się, albo że trafiliśmy, albo w której trójce szukać dalej). Trzy pytania wystarczą przy 2·7+1 = 15 liczbach itd. Jak widać, otrzymujemy pomniejszone o 1 potęgi dwójki (bo 2·(2ⁿ-1)+1 = 2ⁿ⁺¹-1) i aby usłyszeć "To ta!" najpóźniej po 11. pytaniu, n może być równe maksymalnie 2¹¹-1=2047.

Zad. 3. Jest ich 2012 po 100 - tyle, ile 100-elementowych podzbiorów zbioru 2012-elementowego - każdy taki podzbiór daje jedną szukaną wariację i zbiór wyrazów każdej takiej wariacji ma 100 elementów.