Zad. 1. Ile co najmniej rzutów standardową kostką do gry trzeba wykonać, żeby szansa, że choć raz wypadnie wielokrotność trójki, była większa niż 99%?
Zad. 2. AB jest średnicą jednostkowego koła o środku Ś. Jakie pole ma figura stworzona z punktów C tego koła, dla których CBŚ jest trójkątem rozwartokątnym?
Zad. 3. Jeśli w wyrażeniu ax2+bx+c podstawimy pod x dowolną liczbę całkowitą, to otrzymana wartość będzie podzielna przez 5. Uzasadnij, że jeśli a, b i c są całkowite, to dzielą się przez 5.
Zadania majowe sprawiły Ligowiczom nieco kłopotów. 3 pkt uzyskali jedynie Wojciech Górski, Magdalena Nowak i Adrian Słodziński, a 2,5 pkt zdobył Michał Turniak.
Czołówkę Ligi Gimnazjalnej tworzą:
-
z 24 pkt (na 24 możliwe!) - Adrian Słodziński z Gim. w Miliczu,
-
z 23,5 pkt - Wojciech Górski (Gim. 2 w Oleśnie),
-
z 23 pkt - Magdalena Nowak (Gim. 33 w Krakowie),
-
z 22 pkt - Szymon Budzyński (Gim. 3 we Wrocławiu), Bartosz Czyżewski (Gim. w ZSO nr 1 w Jeleniej Górze), Piotr Dzierza (Gim. w Miękini) i Michał Turniak (Gim. 49 we Wrocławiu),
-
z 21,5 pkt - Krzysztof Bednarek (Gim. 13 we Wrocławiu) i Natalia Marcinkiewicz (Gim. "Omega" w Katowicach),
-
z 21 pkt - Aleksandra Polcyn (Gim. Akademickie w Toruniu),
-
z 20,5 pkt - Mieszko Gałat (Gim. 50 w Bydgoszczy) oraz Agata Kuć (Gim. 6 w Płocku),
-
z 20 pkt - Karolina Krzykawiak (Gim. 19 Wrocław),
-
z 19 pkt - Antonina Biela (Gim. w Strzelcach Opolskich),
-
z 18 pkt - Aleksandra Banach (Gim. im. Powstańców Wielkopolskich w Grodzisku Wlkp.) i Bartosz Sójka (Gim. w ZSO nr 1 w Jeleniej Górze).
Gratulujemy wszystkim!
Zad. 1. Prawdopodobieństwo, że wielokrotność trójki nie wypadnie w pojedynczym rzucie, to 2/3, ani razu w dwóch rzutach - 2/3 z 2/3, czyli (2/3)2, w trzech - (2/3)3, w jedenastu - (2/3)11≈0,012, w dwunastu - (2/3)12≈0,008. Potrzeba więc dwunastu rzutów, żeby szansa niewyrzucenia ani razu wielokrotności trójki spadła poniżej 1%, dwanaście jest zatem odpowiedzią.
Zad. 2. Pole to składa się z pola półkola odciętego z danego koła średnicą prostopadłą do AB zawierającego A oraz koła o średnicy BŚ, wynosi zatem ½·π+π(½)2 = ¾·π.
Zad. 3. Dla x=0 wartością jest c, z warunków zadania musi być to więc wielokrotność piątki. Dla x = 1 i -1 otrzymamy odpowiednio a+b+c i a-b+c. Są to wielokrotności piątki, więc ich suma i różnica też, czyli przez 5 dzielą się liczby 2a+2c i 2b. Ponieważ 2c również dzieli się przez 5, a 2 i 5 to liczby względnie pierwsze, otrzymujemy tezę.
Zadanie 1
Czy jednokrotność jest wielokrotnością?
Krotności
W matematyce tak. Wielokrotność liczby n to z definicji liczba postaci kn dla k naturalnych bądź całkowitych (w zależności od kontekstu), zatem również dla k=1. Podobnie jak jednomian jest wielomianem.