Zad. 1. Niech a, b i c będą długościami boków trójkąta zaś ma, mb, mc - długościami jego odpowiednich środkowych. Pokaż, że [tex] (m_a + m_b + m_c) ( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \leq 9( \frac{m_a}{a^2} + \frac{m_b}{b^2} + \frac{m_c}{c^2}).[/tex]
Zad. 2. Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej [tex] 2 \leq n [/tex] zachodzi [tex] (n+1)^{n-1}\leq n^n [/tex].
Zad. 3. Liczby rzeczywiste a1, ..., an oraz b1, ..., bn spełniają dla każdego [tex] x \in [/tex] [-1,1]warunek [tex] \sum_{i=1}^{n} a_i sin b_i x \leq |sin x| [/tex]. Pokaż, że [tex] \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \leq 1 .[/tex]
W tym miesiącu 30 punktów zdobył Radosław Górzyński (I LO Lubin). Gratulacje.
Zad. 1. Teza zadania jest błędna. Wystarczy rozważyć odpowiednio dobrany trójkąt równoboczny (za podanie kontrprzykładu przyznaje się 10 punktów).
Zad. 2. Z nierówności Bernoulliego dla [tex] x=- \frac{1}{n+1}[/tex] mamy [tex] ( \frac{n}{n+1})^n = (1- \frac{1}{n+1})^n > 1 - \frac{n}{n+1} = \frac{1}{n+1} [/tex]. Mnożąc otrzymaną nierówność stronami przez [tex] (n+1)^n [/tex], otrzymamy szukaną nierówność.
Zad. 3. Dla [tex] x \neq 0 [/tex] mamy [tex] | \sum_{i=1}^{n} a_i \frac{sin b_i x}{x} | \leq | \frac{sin x}{x}| [/tex]. Przechodząc w tej nierówności do granicy przy x dążącym do 0, otrzymamy żądaną nierówność.
Tradycja bożo-narodzeniowych jarmarków we Wrocławiu sięga XVI wieku. Jedną z ich atrakcji bywała dawniej "legnicka bomba". Co to było? 
