Uwaga! Rozpoczynając od stycznia 2014, zadania Ligi Zadaniowej dla szkół ponadgimnazjalnych należy wysyłać na adres mejlowy kisowski@gazeta.pl. Adres pocztowy pozostaje bez zmian.
Zad. 1. Udowodnij, że liczba 21005+31005 jest podzielna przez 11.
Zad. 2. Udowodnij, że równanie x2+1003 = y2-1003 nie ma rozwiązań będących parami liczb całkowitych.
Zad. 3. W kwadracie ABCD z wierzchołka A poprowadzono odcinki do środków boków BC i CD. Pokaż, że te odcinki dzielą przekątną BD na trzy równe części.
W tym miesiącu punkty zdobyli:
- 3 pkt. - Robert Czwartosz LO Trzebnica, Piotr Dzierza XIII LO Wrocław i Antoni Kamiński III LO Wrocław,
- 2,5 pkt. - Krzysztof Bednarek III LO Wrocław, Maciej Golec IX LO Wrocław i Tomasz Stempniak I LO Ostrów Wielkopolski,
- 2 pkt. - Krzysztof Danielak I LO Jelenia Góra i Marcin Korona XIV LO Warszawa,
- 1,5 pkt. - Kamila Bojar ZSP Szprotawa.
Pozostali uczestnicy zdobyli poniżej 1 punktu.
Po sześciu miesiącach Ligi z wynikiem 17,5 pkt. (na 18 możliwych!) prowadzi Robert Czwartosz z LO w Trzebnicy. Gratulujemy!
Zad. 1. Cecha podzielności przez 11 mówi, że liczba dzieli się przez 11, wtedy i tylko wtedy, gdy jej naprzemienna suma cyfr dzieli się przez 11. Liczba 1023 jest podzielna przez 11, bo jej naprzemienna suma cyfr wynosi 3-2+0-1 = 0. Zatem 210 = 1024 daje resztę 1 z dzielenia przez 11. Podobnie liczba 59048 jest podzielna przez 11, bo naprzemienna suma cyfr wynosi 8-4+0-9+5 = 0, zatem 310 = 59049 daje resztę 1 z dzielenia przez 11. Iloczyn liczb dających z dzielenia przez 11 resztę 1 też daje resztę 1, bo (11m+1)·(11n+1) = 121mn+ 11(m+n)+1, zatem liczby 21000 = (210)100 i 31000 = (310)100 dają z dzielenia przez 11 reszty 1. Ponadto 25=32 daje z dzielenia przez 11 resztę 10 i 35=243 daje z dzielenia przez 11 resztę 1. Wiemy, że 21005=(210)100·25 i liczba ta daje z dzielenia przez 11 resztę 10 (dlaczego?), natomiast 31005=310·100·35 i liczba ta daje z dzielenia przez 11 resztę 1 (dlaczego). W dodawaniu reszty się zsumują i liczba 21005+31005 będzie dawała resztę 10+1 = 11, co oznacza jej podzielność przez 11.
Zad. 2. Przekształćmy równanie x2+1003 = y2-1003 do postaci 2006 = y2-x2 i dalej ze wzoru skróconego mnożenia 2006 = (y-x)·(y+x). Jeśli liczby x i y byłyby całkowite, to również (y-x) i (y+x) musiałyby być całkowite. Rozkładamy 2006 na czynniki pierwsze: 2006=2·17·59 i rozważamy 16 układów równań postaci: [TEX]\left\{ \begin{array}{ll}
y-x=a & \\
y+x=b &\end{array} \right. ,[/TEX]gdzie (a, b) jest jedną z ośmiu par (1, 2006), (2, 1003), (17, 118), (34, 59), (59, 34), (118, 17), (1003, 2) i (2006, 1) lub ich ujemnych odpowiedników, tzn. (-1,-2006), (-2, -1003) itd. Jednak dodając stronami równania w powyższym układzie, dostajemy 2y=a+b, ale we wszystkich parach liczby a i b mają różną parzystość, więc ich suma jest zawsze nieparzysta, zatem y nie może być liczbą całkowitą, co kończy dowód.
Zad. 3. Odcinki AE i BG to środkowe trójkąta ABC, wiec przecinają się w 2/3 odcinka BG (patrząc od wierzchołka B), czyli w 1/3 odcinka BD. Z symetrii AF dzieli przekątną kwadratu w tym samym stosunku.
Czy wiesz, kto z wrocławskich matematyków został uwiecz-niony na tym znakomitym portrecie w piżamie? Kto jest autorem tego obrazu? Gdzie można go obejrzeć?
Jako młody chłopak Knaster ożenił się z poznaną w Paryżu Marią Morską - muzą Skaman-drytów (zm. w 1945 roku). W czasach wrocła-wskich jego drugą żoną była Regina Lewandowska. Pierwszej żonie Knastera poświęcona jest książka Hanny Faryny-Paszkiewicz "Opium życia".
Steinhaus twierdził, że nazwisko Knaster brzmi w dopeł-niaczu Knastra, a sam Knaster upierał się przy formie Knastera. 
