luty 2014 - opłacalność inwestycji

Pieniądz wraz z upływem czasu może zmieniać wartość. Często spotykamy się ze spadkiem wartości pieniądza z powodu inflacji. To znaczy, że złotówka znajdująca się dzisiaj w naszym portfelu jest więcej warta (można za nią kupić więcej) od takiej samej złotówki za kilka lat. Z drugiej strony posiadane dziś pieniądze możemy zainwestować, a jeśli inwestycja okaże się korzystna, po jakimś czasie wróci do nas większa kwota. W celu określenia zmiany wartości pieniądza w czasie wprowadza się dwa pojęcia: wartość bieżąca PV (ang. present value - czytaj: prezent welju) i wartość przyszła FV (ang. future value - czytaj: fjuczer welju).

Przykład 1. Jaka będzie wartość przyszła 1000 zł pożyczonych przez pana Jana szwagrowi na okres roku, jeśli w zamian za udzielenie pożyczki szwagier odda mu o 100 zł więcej?
Rozwiązanie. Wartość bieżąca PV = 1000 zł. Wartość przyszła po upływie roku to FV = PV+100 = 1100 zł.

Z inwestowaniem pieniędzy wiąże się też pojęcie stopy zwrotu (lub procentowej stopy zwrotu) danej inwestycji. Stopę zwrotu oznacza się przez i od ang. słowa interest oznaczającego odsetki. Stopa zwrotu określa przyrost pieniądza w ciągu jednego roku trwania inwestycji w stosunku do kwoty posiadanej na początku. Spełnia ona zależność:
FV = PV + PV·i = PV·(1+i). Przekształcając ją, otrzymamy wzór na stopę zwrotu  i = FV/PV - 1.

Przykład 2. Oblicz procentową stopę zwrotu dla inwestycji pana Jana z przykładu 1.
Rozwiązanie. Podstawiając dane w przykładzie 1 kwoty do wzoru na stopę zwrotu, dostaniemy i = 1100/1000 - 1 = 11/10 - 1 = 1/10 = 10/100, czyli stopa zwrotu wynosi 10%.

Jeśli inwestycja trwa kilka lat, a stopa zwrotu w każdym roku jest taka sama i wynosi i, ale naliczana jest tylko od zainwestowanej kwoty początkowej PV, to przyszła wartość FV wynosi:

• po 1 roku PV+PV·i = PV·(1+i),
• po 2 latach PV+PV·i+PV·i = PV·(1+2i),
• po 3 latach PV+PV·i+PV·i +PV·i = PV·(1+3i),
  ........
• po t latach FV = PV·(1+t·i).

Taki model przyrostu wartości pieniądza nazywamy procentem prostym (ang. simple interest - czytaj: simpl intrest).

Inwestować pieniądze możemy także przez wpłacenie ich na lokatę bankową na ustalony okres czasu i przy ustalonym oprocentowaniu rocznym. O takiej inwestycji mówimy, że jest bezpieczna, bo nigdy na niej nie stracimy. Oprocentowanie lokaty stanowi jednocześnie stopę zwrotu tej inwestycji.

Przykład 3. Oblicz wartość przyszłą kapitału w wysokości 1000 zł złożonego przez pana Jana na lokacie bankowej na okres 3 lat przy procentowej stopie zwrotu wynoszącej 5% w oprocentowaniu prostym.
Rozwiązanie. Mamy FV = 1000 · (1 + 3 · 5/100) = 1150 zł.

Działalność gospodarcza nie zawsze jest inwestycją bezpieczną, bo może się zdarzyć, że przyniesie straty. W każdym roku trwania inwestycji określa się przepływ pieniądza CF (ang. cash flow - czytaj: kesz floł), czyli  różnicę pomiędzy osiągniętym dochodem z inwestycji a poniesionymi nakładami. Przepływ pieniądza może być dodatni lub ujemny. Wartość dodatnia oznacza, że firma przyniosła w danym roku zysk, a ujemna - że przyniosła stratę. Znając przepływ pieniądza można stwierdzić opłacalność inwestycji przez porównanie jej z bezpieczną lokatą bankową założoną na ten sam okres czasu przy procentowej stopie zwrotu wynoszącej np. 5% w oprocentowaniu prostym.

Przykład 4. Rozpatrzmy inwestycję pana Jana polegającą na założeniu firmy. Wykłada on kapitał początkowy K=400 zł na otworzenie działalności gospodarczej. W pierwszym, drugim i trzecim roku firma przynosi po 150 zł dochodu, a w czwartym roku trzeba dodatkowo zainwestować 300 zł, co pozwala osiągnąć w tym roku dochód w wysokości 400 zł. Czy ta inwestycja jest opłacalna?
Rozwiązanie. Przedostatnia kolumna poniższej tabeli przedstawia przepływ pieniądza CF dla inwestycji pana Jana w działalność gospodarczą. Aby porównać inwestycje w firmę i w lokatę bankową, przyjmujemy przepływ pieniądza w danym roku za wartość przyszłą i obliczamy jego wartość obecną dla i=5%. W tym celu wzór FV = PV·(1+t·i) przekształcamy do postaci PV = FV / (1+t·i) i podstawiamy FV=CF. W ten sposób dla pierwszego roku działalności obliczymy, że PV = 150 / (1+1· 5/100) = 142,86 zł. Oznacza to, że aby z lokaty bankowej założonej na 5% w oprocentowaniu prostym uzyskać kwotę 150 zł (czyli taką, jak dochód pana Jana z I roku działalności), trzeba rok wcześniej wyłożyć 142,86 zł. W podobny sposób dla drugiego roku wyliczamy PV = 150 / (1+2· 5/100) = 136,36 zł, dla trzeciego roku PV = 150 / (1+3· 5/100) = 130,43 zł, a dla czwartego roku PV = 100 / (1+4· 5/100) = 83,33 zł. Dane te przedstawia ostatnia kolumna tabeli.

Sumując liczby z ostatniej kolumny, otrzymujemy kwotę 492,99 zł. Tyle trzeba by włożyć na lokatę, aby po czterech latach zyskać tyle samo, co z działalności gospodarczej, na którą pan Jan wyłożył tylko 400 zł. Oznacza to, że inwestycja pana Jana w działalność gospodarczą była bardziej opłacalna niż 5% lokata bankowa. Gdyby uzyskana suma była mniejsza niż kapitał początkowy K, to bardziej opłacalna byłaby lokata, a gdyby kwoty były jednakowe, to obie inwestycje byłyby równoważne pod względem opłacalności.

[koniec wykładu dla SP]

Znacznie częściej niż procent prosty stosowany jest inny model przyrostu wartości pieniądza, tzw. procent składany (ang. compound interest - czytaj: kompaund intrest). Stopa zwrotu inwestycji w danym roku naliczana jest w tym modelu nie tylko od początkowej wartości kapitału, ale także od zysków nagromadzonych w poprzednich latach (jeśli nie są one przez inwestora wycofywane). Wartość przyszła FV w tym modelu wynosi:

• po 1 roku PV+PV·i = PV·(1+i), czyli tyle samo, jak w przypadku procentu prostego,
• po 2 latach PV·(1+i) + PV·(1+i)·i = [PV·(1+i)]·(1+i) = PV·(1+i)²,
• po 3 latach PV·(1+i)²+PV·(1+i)²·i = [PV·(1+i)²]·(1+i) = PV·(1+i)³,
  ...........
• po t latach FV = PV·(1+i)^t.

Przykład 5. Oblicz wartość przyszłą zainwestowanego przez pana Jana na okres 2 lat kapitału w wysokości 1000 zł przy  procentowej stopie zwrotu równej 5% w przypadku modelu procentu prostego (zyski są przez inwestora wycofywane) i składanego (zyski są inwestowane w dalszą działalność).
Rozwiązanie. Dla procentu prostego mamy FV = 1000·(1+2·5/100) = 1100 zł, a dla procentu składanego FV = 1000·(1+5/100)² = 1000·11025/10000 = 1102,50 zł.

Przykład 6. Rozpatrzmy kolejną inwestycję pana Jana polegającą na założeniu firmy. Wykłada on kapitał początkowy K=8000 zł na otworzenie działalności gospodarczej. W następnych latach co rok firma przynosi pewien przychód i równocześnie generuje pewne koszty, co przedstawia tabela poniżej. Czy inwestycja ta jest opłacalna?
Rozwiązanie. Opłacalność tej inwestycji porównamy z trzyletnią bezpieczną lokatą bankową na procent składany o stopie zwrotu i=5%. Dla każdego roku obliczamy przepływ pieniądza CF jako różnicę między przychodami i kosztami.

Przyjmując w każdym roku za wartość przyszłą przepływ pieniędzy w tymże roku, możemy obliczyć wartość obecną (czyli kwotę, którą trzeba by włożyć na lokatę, aby po odpowiedniej liczbie lat uzyskać tyle, ile wynosi przepływ pieniędzy w tym roku). Zatem dla FV=CF w roku t trwania inwestycji mamy FV=CF = PV(1+i)^t, czyli PV = CF/(1+i)^t. W tym wzorze stały czynnik 1/(1+i) nazywamy współczynnikiem dyskonta i oznaczamy przez d (z ang. discount, czytaj: dyskaunt). Powyższy wzór można więc zapisać krócej jako PV = CF·d^t. Wartości PV uzyskane dla kolejnych lat przedstawia ostatnia kolumna poniższej tabeli.

Jeśli zsumujemy kolumnę z wartościami obecnymi PV i porównamy ją z kwotą kapitału początkowego K, dowiemy się, czy inwestycja w działalność gospodarczą była opłacalna. W przypadku inwestycji pana Jana suma PV wynosi 10854,12 zł i jest większa niż kapitał początkowy, który wynosił 8000 zł. Zatem działalność gospodarcza była bardziej opłacalna niż lokata bankowa.

Różnicę sumy wartości PV z kolejnych lat oraz kapitału początkowego K nazywamy wartością bieżącą netto NPV (ang. net present value). W powyższym przykładzie NPV wynosi 2854,12 zł. Ogólnie jeśli dla danej inwestycji zachodzi:

• NPV>0, to jest ona opłacalna,
• NPV=0, to nie przyniosła ona ani zysku, ani straty i jest równoważna inwestycji w bezpieczną lokatę,
• NPV<0, to jest ona nieopłacalna.

Zadanie 1. Szacowana przyszła wartość pięcioletniej inwestycji na procent prosty i=6% wynosi 7 995 zł. Jaką kwotę musi włożyć w nią na początku inwestor?

Zadanie 2. Inwestor chce wyłożyć 9 214,30 zł na inwestycję z procentem prostym ze stopą zwrotu i=4%. Chce on uzyskać przyszłą wartość równą 12 900,02 zł. Ile lat musi trwać ta inwestycja?

Zadanie 3. Pani Janina zainwestowała 3000 zł w rozpoczęcie działalności gospodarczej. Późniejszy przebieg tej działalności przedstawia poniższa tabela. Czy biznes pani Janiny jest opłacalny w porównaniu z 5% lokatą w oprocentowaniu prostym?

Zadanie 1. Inwestor wykłada po 2000 zł na dwie pięcioletnie inwestycje. Pierwsza ma model procentu prostego ze stopą zwrotu i=5%, a druga model procentu składanego. Inwestor chce, aby obie inwestycje przyniosły mu taki sam zysk. Podaj wzór ogólny na procentową stopę zwrotu dla drugiej inwestycji oraz oblicz jej wysokość.

Zadanie 2. Czy inwestycja, w którą trzeba włożyć 2 mln zł, a która w pierwszym i drugim roku nie przyniesie żadnego przychodu i dopiero w trzecim roku da przychód w wysokości 2,6 mln zł, a której koszty co rok wynoszą 0,1 mln zł, jest opłacalna? Oblicz NPV tej inwestycji w stosunku do 5% lokaty bankowej na procent składany.

Zadanie 3. Poniższa tabela przedstawia przebieg pewnej dwuletniej inwestycji, na rozpoczęcie której wyłożono kapitał w wysokości 26000 zł. Jakie powinno być oprocentowanie bezpiecznej lokaty na procent składany (3%<i<4%), aby NPV tej inwestycji było raz dodatnie, a raz ujemne?

Zadanie 1. Inwestor wykłada po 2000 zł na dwie inwestycje. Pierwsza trwa 7 lat i ma model procentu składanego ze stopą zwrotu i₁=5%, a druga też ma model procentu składanego ze stopą zwrotu i₂=4%, ale trwa t lat, dając wartość przyszłą FV = 2 846,62 zł. Ile wynosi wartość przyszła pierwszej inwestycji, a ile czas trwania drugiej? Podaj wzór ogólny na t.

Zadanie 2. Poniższa tabela przedstawia przebieg pewnej trzyletniej inwestycji, w którą włożono kapitał początkowy w wysokości 26 000 zł. Czy była ona opłacalna? Oblicz NPV tej inwestycji w porównaniu z bezpieczną 4% lokatą bankową na procent składany.   

Zadanie 3. Bank proponuje klientom sześcioletnią lokatę na procent składany. Przez pierwsze trzy lata oprocentowanie wynosi 4%, przez kolejne dwa lata 5% , a przez ostatni rok 6%. Jaką kwotę należy włożyć na tę lokatę, aby jej przyszła wartość wyniosła 12 000 zł?