Zad. 1. W ostrosłupie ABCS wszystkie kąty płaskie przy wierzchołku S są proste. Pole ściany bocznej ABS wynosi 24, pole ściany ACS - 14, a ściany BCS - 42. Ile wynosi objętość tego ostrosłupa?
Zad. 2. Liczby w rozkładzie 15 na czynniki pierwsze występują w potęgach nieparzystych: 15 = 31⋅51. Liczby 22, 23 i 24 są trzema kolejnymi mającymi tę własność: 22 = 21⋅111, 23 = 231, 24 = 23⋅31. Znajdź największą możliwą liczbę n, dla której istnieje n kolejnych liczb naturalnych o tej własności.
Zad. 3. Podaj ostatnich 18 cyfr najmniejszej liczby naturalnej, która po pomnożeniu przez 999 da wynik składający się z samych jedynek.
W marcu punkty zdobyli:
- 3 pkt. – Anna Cichowska II LO Lubin, Wojciech Domin III LO Wrocław, Rafał Górzyński I LO Lubin, Michał Plata III LO Wrocław, Mikołaj Popek VIII LO Poznań, Laura Stefanowska KLO Legnica, Michał Węgrzyn ALO PWr Wrocław;
- 2,5 pkt. –Filip Derejski I LO Kraków,
- 2 pkt. – Adam Chowanek III LO Wałbrzych, Bartosz Kaczor I LO Głogów, Szymon Kowalcze SP Kowalowa, Jakub Kutyła ZS Głogów, Cezary Rębiś ZSE Radom, Wojciech Szwarczyński II LO Wałbrzych, Igor Wojtun I LO Głogów;
- 1 pkt. – Tomasz Smołka I LO Kraków;
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Objętość ostrosłupa wynosi 56. Ustawmy ostrosłup na ścianie BCS. Wtedy jego podstawą jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych BS i CS, a wysokością jest odcinek AS. Oznaczmy długości odcinków: |BS|=b, |CS|=c i |AS|=h. Zachodzą równości: bc/2=42, ch/2=14 i bh/2=24, czyli bc=84, ch=28 i bh=48. Wynika stąd, że bch2=28⋅48, czyli 84h2=28⋅48, zatem h2=28⋅48/84 = 4⋅7⋅4⋅12/(7⋅12) = 4⋅4, czyli h=4. Objętość ostrosłupa ABCS wynosi zatem 13⋅42⋅4=56.
Zad. 2. Największe możliwe n wynosi 7. Wśród ośmiu kolejnych liczb naturalnych jest jedna podzielna przez 8 i dwie podzielne przez 4, zatem jest wśród nich liczba podzielna przez 4 a niepodzielna przez 8. W rozkładzie tej liczby na czynniki pierwsze dwójka występuje w potędze 2. Wnosimy więc, że żadnych osiem kolejnych liczb nie ma rozważanej własności, co oznacza że n≤7. Istnieje 7 kolejnych liczb naturalnych mających opisaną własność. Są to np. 29, 30, 31, 32, 33, 34 i 35, bo 29=291, 30=21⋅31⋅51, 31=311, 32=25, 33=31⋅111, 34=21⋅171 i 35=51⋅71.
Zad. 3. Ostatnich 18 cyfr szukanej liczby to 333444555666777889. Oznaczmy szukaną liczbę przez x. Zachodzi 999⋅x = 111…111, czyli 999⋅x = 999…999/9, a więc 9⋅x = 999…999/999 (stosujemy mnożenie na krzyż). Po podzieleniu 999…999 przez 999 otrzymujemy liczbę postaci 100100…1001. Ta liczba równa jest 9⋅x, jest więc podzielna przez 9. Suma jej cyfr musi zatem być podzielna przez 9. Najmniejsza liczba o tej własności składa się z dziewięciu jedynek i szesnastu zer (każde dwie jedynki rozdzielone są dwoma zerami). Po podzieleniu tej liczby przez 9 otrzymujemy x = 111222333444555666777889.
