Zad. 1. Niech [x] i {x} oznaczają odpowiednio część całkowitą i ułamkową liczby x. Wiemy, że
[x]{x} = 1 oraz [x]2–[x](1+x) + 4 = 0. Oblicz x.
Zad. 2. Rozpatrujemy ciągi dodatnich liczb całkowitych a1, a2, ... o tej własności, że dla k>1 zachodzi k | NWD(ak-1, ak). Jaka jest najmniejsza możliwa wartość sumy pierwszych jedenastu elementów takiego ciągu?
Zad. 3. Udowodnij, że dla n > 1 naturalnego liczba n4 + 4n jest złożona.
Zad. 1. Wiemy, że x = [x] + {x}. Po podstawieniu otrzymujemy [x]2 – [x](1 + [x] + {x}) + 4 = 0 i dalej [x]2 – [x] – [x]2 – [x]{x} + 4 = 0, skąd [x] = 3. Co za tym idzie, mamy 3{x} = 1, a to oznacza, że {x} = 1/3. Wobec tego x = 10/9.
Zad. 2. Zauważmy, że dla każdego k liczba ak musi być podzielna przez k oraz k+1. Wobec tego ak = c·k·(k+1). Dla dowolnej dodatniej całkowitej stałej c tak określony ciąg spełnia warunki zadania. Suma pierwszych jedenastu elementów ciągu jest równa 572c, więc najmniejsza wartość tej sumy jest osiągana przy c = 1. Odpowiedzią jest więc 572.
Zad. 3. Jeżeli n jest liczbą parzystą, to twierdzenie zachodzi trywialnie. Rozważmy zatem sytuację n = 2k+1. Wówczas możemy zapisać: n4+4n = n4 + 4·24k = (n2 – 2k+1n + 22k+1)(n2 + 2k+1n + 22k+1). Zauważmy, że lewy czynnik tego iloczynu to (n – 2k)2 + 22k, co jest większe od 4 lub równe 4. Wobec tego wyjściowa liczba jest złożona. Tożsamość wykorzystana w rozumowaniu, tj. X4 + 4Y4 = (X2 – 2XY + 2Y2)(X2 + 2XY + 2Y2), nosi nazwę Sophie Germain [czytaj: sofi' źermę'].
