Zad. 1. Udowodnij, że a2bc + ab2c + abc2 ≤ a2b2 + a2c2 + b2c2 dla dowolnych rzeczywistych a, b, c.
Zad. 2. Zapis liczby n w systemie dwójkowym to 101010...10, gdzie jedynek jest 2012. Jaka jest reszta z dzielenia n przez 3? Uzasadnij!
Zad. 3. Prosta ś jest styczna w punktach A i C do zewnętrznie stycznych okręgów, których punkt wspólny to B. Jaką miarę może mieć kąt ABC? Uzasadnij!
Zadania październikowe nie sprawiły Ligowiczom większych trudności, chociaż wiele osób nie uzasadniało w zad. 2 używanych własności potęg dwójki, a niektórzy pisali po prostu, że "dalej będzie tak samo", sprawdziwszy reszty z dzielenia kilku lub kilkunastu najmniejszych. Za takie rozwiązania nie przyznawaliśmy oczywiście pełnego punktu.
Bezbłędne, ocenione na w sumie 3 pkt rozwiązania nadesłali: Robert Czwartosz, Kamil Dominik Jabłonowski, Władysław Klinikowski, Paweł Kotyś, Bartosz Pawliczak, Bartosz Sójka, Maja Tuszyńska, Patryk Więcek i Arkadiusz Wróbel. Po 2,5 pkt przyznaliśmy: Maciejowi Cebuli, Jędrzejowi Chmielewskiemu, Monice Deć, Piotrowi Dzierzy, Pawłowi Firlejowi, Magdzie Maderze, Natalii Marcinkiewicz i Karolinie Monice Pawelczyk.
Wszystkim gratulujemy!
Zad. 1. Dana nierówność jest równoważna 0 ≤ (ab-ac)2+(ab-bc)2+(bc-ac)2, co jest oczywiście prawdą dla dowolnych rzeczywistych a, b, c.
Zad. 2. 20 daje przy dzieleniu przez 3 resztę 1, 21=2·1=2 - resztę 2, 22=2·2=4 - resztę 1 itd. (bo 2(3k+1)=3·2k+2 - reszta 2, a 2(3k+2)=3·(2k+1)+1 - reszta 1). Dana liczba to 21+23+25+...+2n, gdzie składników jest 2012, szukana reszta jest zatem taka jest reszta z dzielenia przez 3 liczby 4024, czyli 1.
Zad. 3. Oznaczmy przez OA i OC środki okręgów zawierających odpowiednio A i C. Odcinek OAOC przechodzi przez B, bo OAB i OCB są prostopadłe do stycznej do obu okręgów w B. Mamy więc: |<ABC| = 180° - (|<ABOA|+|<CBOC|), a kąty ABOA i CBOC są przystające odpowiednio do BAOA i BCOC (bo trójkąty ABOA i CBOC są równoramienne, jako że po dwa ich boki są promieniami tego samego okręgu). Zatem |<ABC| = 180° - (|<BAOA|+|<BCOC|). Ponieważ AOA i COC są prostopadłe do ś, |<BAOA|=90°-|<BAC|, a |<BCOC|=90°-|<ACB| i mamy dalej |<ABC| = 180° - (180°-(|<BAC|+|<ACB|)) = |<BAC|+|<ACB|. Jednocześnie |<BAC|, |<ACB| i |<ABC| dają w sumie 180°, więc |<ABC|=90°.
Wyniki październikowe
Dlaczego nie ma jeszcze wyników październikowych?
Wyniki
Publikujemy (są powyżej) tylko nazwiska tych, którzy zdobyli najwięcej punktów w danym miesiącu lub prowadzą w klasyfikacji sumarycznej.