Zad. 1. Czy jeśli sumy miar przeciwległych kątów czworokąta są równe, to da się na nim opisać okrąg? Uzasadnij!
Zad. 2. Czy wśród 13 liczb naturalnych muszą znaleźć się dwie o różnicy kwadratów podzielnej przez 21? Uzasadnij!
Zad. 3. Trójkąt prostokątny o najkrótszym boku długości 1 i najdłuższym długości 2 podzielono wysokością h1 na dwa trójkąty. Mniejszy z nich podzielono wysokością h2, otrzymując kolejne dwa trójkąty, i tak samo podzielono mniejszy z nich wysokością h3 itd. Czy suma h1+h2+h3+...+hn jest dla pewnego n większa od √3? Uzasadnij!
Olbrzymia większość Ligowiczów w mniej lub bardziej zakamuflowany sposób używała przy rozwiązywaniu zad. 1 implikacji z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym w niewłaściwym kierunku - z faktu, że jeśli czworokąt da się wpisać w okrąg, to sumy miar jego przeciwległych kątów są równe, nie wynika wcale, że owa równość nie może zachodzić również dla jakichś czworokątów niedających się wpisać w okrąg. (Ale faktycznie nie może i dowód tego faktu był właśnie treścią zadania). Poprawne (ocenione na 3 pkt) rozwiązania wszystkich zadań nadesłali tylko Piotr Dzierza i Paweł Kotyś. 2,5 pkt przyznaliśmy Arkadiuszowi Wróblowi, który przeprowadził dowód niedziałający dla niektórych czworokątów.
W sumarycznym rankingu Ligi Szkół Ponadgimnazjalnych 2012/13 peleton stanowią:
- z 6 pkt (na 6 możliwych) - Paweł Kotyś,
- z 5,5 pkt - Piotr Dzierza i Arkadiusz Wróbel,
- z 5 pkt - Robert Czwartosz, Bartosz Pawliczak i Patryk Więcek.
Gratulujemy wszystkim!
Zad. 1. Rozpatrzmy taki czworokąt i nazwijmy jego wierzchołki A, B, C, D, tak żeby B był wierzchołkiem największego jego kąta. Jeśli na ABCD nie dałoby się opisać okręgu, to przynajmniej jedna z prostych AD i CD przecina okrąg opisany na trójkącie ABC na łuku AC niezawierającym B. Załóżmy, że prostą tą jest AD (jeśli nie, to można postąpić analogicznie), i oznaczmy jej punkt leżący na łuku AC przez D'. Z własności kątów wpisanych w okrąg wynika, że kąty ABC i AD'C dają w sumie 180°, natomiast skoro D z założenia nie leży na tym okręgu, kąt ADC jest różny od AD'C, co daje sprzeczność. Przez A, B, C i D przechodzi zatem okrąg.
Zad. 2. Ponieważ (21k+r)2 daje przy dzieleniu przez 21 taką samą resztę jak (21k–r)2 (bo przy zastosowaniu wzorów skróconego mnożenia można jeden i drugi kwadrat przedstawić jako wielokrotność 21 powiększoną o r2), reszty z dzielenia kwadratów wszystkich liczb naturalnych przez 21 są takie jak reszty kwadratów 0, 1, 2, 3, ..., 10. Liczb tych jest jedenaście, więc wśród dowolnych trzynastu liczb naturalnych przynajmniej jedna reszta wystąpi przynajmniej dwa razy, co oznacza, że różnica liczb dających tę resztę dzieli się przez 21.
Zad. 3. Dłuższa przyprosotokątna wyjściowego trójkąta ma długość √3, przez przyrównanie 1·√3 do 2·h1 otrzymamy więc, że h1=√3/2. Trójkąty odcięte odcinkiem h1 są podobne do wyjściowego (są prostokątne i mają po jednym kącie ostrym wspólnym) i skala podobieństwa mniejszego to ½. Zatem h2=h1/2 i analogicznie h3=h2/2, itd., więc h1+h2+h3+...+hn = √3/2(1+1/2+1/4+1/8+...+21-n) = √3/2(2–21-n) < √3/2·2 = √3 dla dow. n.
Czy wiesz, kto z wrocławskich matematyków został uwiecz-niony na tym znakomitym portrecie w piżamie? Kto jest autorem tego obrazu? Gdzie można go obejrzeć?
Jako młody chłopak Knaster ożenił się z poznaną w Paryżu Marią Morską - muzą Skaman-drytów (zm. w 1945 roku). W czasach wrocła-wskich jego drugą żoną była Regina Lewandowska. Pierwszej żonie Knastera poświęcona jest książka Hanny Faryny-Paszkiewicz "Opium życia".
Steinhaus twierdził, że nazwisko Knaster brzmi w dopeł-niaczu Knastra, a sam Knaster upierał się przy formie Knastera. 
Uściślenie zad. 2
Jeśli rozważymy liczby x·x mod 21 (reszty z dzielenia kwadratów liczb naturalnych przez 21), to możliwych reszt jest jedynie 8 (0, 1, 4, 7, 9, 15, 16, 18). Wystarczy zatem 9 liczb, aby warunek zadania był spełniony. Oczywiście gdy mamy 13 liczb, to tym bardziej warunek jest spełniony.
Zad. 2
To prawda, 13 podaliśmy częściowo dla zmyłki, a jednocześnie po to, żeby nie trzeba było sprawdzać tych reszt, a wystarczało tylko oszacować ich liczbę. Oczywiście rozwiązanie Bartosza jest także w pełni poprawne.