Zad. 1. Znajdź wszystkie liczby dwucyfrowe, dla których kwadrat sumy cyfr jest równy sumie cyfr kwadratu tych liczb.
Zad. 2. Trójkąt równoboczny o polu P przecięto trzema prostymi. Każda z nich jest równoległa do innego boku. Pierwsza odcięła od trójkąta mniejszy trójkąt o polu P/4, druga o polu P/9, a trzecia o polu P/36. Oblicz pole trójkąta, którego boki zawierają się w tych prostych.
Zad. 3. Dany jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości 1 i punkt K taki, że pola trójkątów ACK i BCK są równe 1. Oblicz pole trójkąta ABK.
W październiku punkty zdobyli:
- 2,75 pkt. – Anna Cichowska II LO Lubin, Wojciech Domin III LO Wrocław, Szymon Narolski II LO Oleśnica, Dominik Pawelec II LO Dzierżoniów, Michał Plata III LO Wrocław, Mikołaj Popek VIII LO Poznań, Tomasz Smołka I LO Kraków, Wojciech Szwarczyński II LO Wałbrzych, Michał Węgrzyn ALO PWr Wrocław, Igor Wojtun I LO Głogów;
- 2,5 pkt. – Adam Chowanek III LO Wałbrzych, Filip Derejski I LO Kraków, Michał Dźwigaj LO Przemków, Bartosz Kaczor I LO Głogów, Jakub Kutyła ZS Głogów, Cezary Rębiś ZSE Radom, Igor Wojtasik I LO Jelenia Góra;
- 2 pkt. – Tomasz Chudziński DLH Nysa, Radosław Górzyński I LO Lubin;
- 1,75 pkt. – Laura Stefanowska KLO Legnica;
- 1,5 pkt. – Kinga Kaczmarzyk NLF św. Jadwigi Wrocław;
- 1 pkt. – Karol Czub II LO Oleśnica.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Niech szukana liczba ma postać 10x+y. Kwadrat liczby dwucyfrowej może być co najwyżej liczbą czterocyfrową. Największa liczba czterocyfrowa to 9999, więc (x+y)2 <4·9, a stąd x + y < 6. Jest 15 takich liczb, ale tylko 9 z nich spełnia warunki zadania. Są to liczby: 10, 11, 12, 13, 20, 21, 22, 30 i 31.
Zad. 2. Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Niech a oznacza długość boku pierwszego trójkąta. Wówczas trójkąt odcięty przez prostą DE jest równoboczny, a jego bok ma długość a/2, trójkąt odcięty przez prostą JH jest równoboczny, a jego bok ma długość a/3, trójkąt odcięty przez prosta FG jest równoboczny, a jego bok ma długość a/6. Z tego wynika, że |AB| = |AH|+|HG|+|GB|, czyli a = a/3+|HG|+a/6, skąd |HG| = a/2. Analogicznie |BC| = |BF|+|FE|+|EC|, czyli a = a/6+|FE|+a/2, skąd |FE| = a/3. Trójkąty HGM i EFL są równoboczne, więc |MG| = |HG| = a/2 oraz |FL| = |FE| = a/3. Otrzymujemy zatem |ML| = |MG|+|GF|+|FL|, czyli |ML| = a/2+a/6+a/3 = a. Trójkąt KLM też jest równoboczny, ma bok długości a i pole równe polu trójkąta ABC, czyli P.
Zad. 3. Skoro pole trójkąta ACK jest równe 1, to punkt K leży na prostej równoległej do prostej AC i odległej od niej o 2 jednostki. Analogicznie punkt K leży na prostej równoległej do prostej BC i odległej od niej o 2 jednostki. Z tego wynikają 4 możliwości położenia punku K – są to wierzchołki rombu K1, K2, K3, K4 (patrz rysunek). Trójkąty PCR i PK1R są równoboczne i przystające. Wysokość trójkąta PCR jest równa odległości punktu P od prostej CR, czyli 2. Wysokość trójkąta ABK1 poprowadzona do boku AB jest równa [tex] \frac{\sqrt3}{2}+2 \cdot2=4+\frac{\sqrt3}{2}[/tex]. Pole trójkąta ABK1 jest równe [tex] P_1=\frac{1}{2} \cdot1 \cdot(4+\frac{\sqrt3}{2})=2+\frac{\sqrt3}{4}[/tex]. Pole trójkąta ABK3 jest równe [tex] P_2=\frac{1}{2} \cdot1 \cdot(4-\frac{\sqrt3}{2})=2-\frac{\sqrt3}{4}[/tex]. Pola trójkątów ABK2 i ABK4 są równe polu trójkąta ABC, czyli [tex]\frac{\sqrt3}{4}[/tex].
