Zad. 1. A jest okręgiem o promieniu 1, B jest okręgiem o promieniu 2 i środku odległym o 4 od środka A. Opisz figurę złożoną z punktów równo odległych od A i B.
Zad. 2. Podaj liczbę naturalną, której zapis dziesiętny kończy się cyfrą 5, a po jej przestawieniu na jego początek powstaja liczba dwa razy większa.
Zad. 3. Ile jest równań ax+b=cx+d mających co najmniej jeden całkowity pierwiastek, gdzie a, b, c i d to dodatnie liczby jednocyfrowe?
Najlepszym rezultatem były poprawnie rozwiązane dwa zadania, co udało się tylko Damianowi Olczykowi z I LO w Oleśnie. Gratulujemy!
W klasyfikacji ogólnej prowadzi również Damian Olczyk (10 pkt. na 12 możliwych).
Zad. 1. Zadanie to można rozwiązać tak jak zadanie 1 z grudnia 2007. Po wprowadzeniu układu współrzędnych o początku w środku A i środku B leżącym w punkcie (4, 0) oraz po wykonaniu analogicznych rachunków (z uwzględnieniem dziedziny) otrzymamy jako szukaną krzywą lewą gałąź hiperboli o równaniu 60x2-240x-4y2+225=0 (o pionowej osi symetrii x=2).
Zad. 2. Jeśli szukana liczba kończy się piątką, a po jej przestawieniu na początek staje się dwa razy większa, to przedostatnią cyfrą musi być 0. Analogicznie uzyskujemy dalsze cyfry, idąc od końca: 1 (z przeniesienia), 2, 4, 8, 6, 3, 7, 4, 9, 8, 7, 5 (ale nie może być to piątka przepisana z ostatniej pozycji, bo trzeba tu uwzględnić przeniesienie przy mnożeniu), 1, 3, 6, 2 i 5, na czym proces możemy zakończyć, ponieważ tutaj nie ma przeniesienia. Jako odpowiedź otrzymaliśmy więc liczbę 263157894736842105, a wszystkie inne polegają na powtórzeniu tego zapisu dowolnie wiele razy.
Zad. 3. Jeśli a=c, to równanie ma pierwiastek całkowity (a nawet nieskończoną ich ilość) wtedy i tylko wtedy, gdy b=d. Takich równań jest więc 81 (9 wyborów a=c i niezależnie od nich 9 wyborów b=d). Jeśli a≠c, to jedynym pierwiastkiem jest (d-b)/(a-c). Musi więc zachodzić podzielność (d-b) przez (a-c). Możliwe wartości d-b to -8, -7, ..., 0. Jeśli jest to -8, to a-c może być ze zbioru (1, -1, 2, -2, 4, -4, 8, -8}; jeśli d-b=-7, to a-c należy do zbioru {1, -1, 7, -7} itd.; jeśli d-b=0, a i c mogą być dowolne (byle różne). 8 i -8 jako różnicę dwóch dodatnich liczb jednocyfrowych można przedstawić na jeden sposób, 7 i -7 na dwa, 6 i -6 na trzy, ..., 0 na dziewięć. W sumie zatem równań zadanej postaci o jednym pierwiastku całkowitym jest 2·2(1(8+7+5+1)+2(8+2)+3(8+7+6+3)+4(8+4)+5(8+7+5)+6(8+6)+7(8+7)+8·8)+9·9·8 = 4(8·(1+2+3+...+8)+13+4+48+16+60+36+49)+648 = 4(8·36+226)+648 = 2704, czyli szukana liczba to 2785.
