Zad. 1. Na płaszczyźnie wybrano punkty A i B odległe o 17 jednostek. Opisz, jak wygląda zbiór punktów równo odległych od koła o środku A i promieniu 5 i okręgu o środku B i promieniu 10.
Zad. 2. Jakie wielokąty foremne mogą być przekrojami sześcianu płaszczyzną?
Zad. 3. Podaj wszystkie funkcje f : R → R spełniające warunek f(x+y) = f(2x)+f(3y) dla wszystkich rzeczywistych x i y.
Poprawne rozwiązania 3 zadań nadesłał tylko Krzysztof Nowicki z XIV LO we Wrocławiu. Gratulujemy!
W klasyfikacji generalnej prowadzi Damian Olczyk z I LO w Oleśnie (8 pkt. na 9 możliwych).
Zad. 1. Wewnątrz tych kół nie ma takich punktów, natomiast na zewnątrz odległość od danego koła to odległość od jego środka pomniejszona o promień. Szukamy więc punktów, których odległość od A jest o 5 jednostek mniejsza niż odległość od B. Jeśli wprowadzimy układ współrzędnych o początku w A, tak by punkt B miał współrzędne (17, 0), to współrzędne szukanych punktów (x, y) spełniają równanie (1):[TEX]\sqrt{x^2+y^2}+5=\sqrt{(17-x)^2+y^2} .[/TEX]
Równoważne jest to równaniu otrzymanemu przez podniesienie obu stron (1) do kwadratu, przy założeniu, że prawa strona (1) (czyli odległość (x, y) od B) jest nie mniejsza od 5. Po redukcji wyrazów podobnych mamy więc
$10\sqrt{x^2+y^2}+25=289-34x$ i dalej $5\sqrt{x^2+y^2}=132-17x$,
skąd wynika, że 17x?132, i przy tym założeniu mamy równoważnie
$264x^2-4488x-25y^2+17424=0$.
Jest to równanie hiperboli o osiach symetrii y=0 i x=6, przy czym zbiorem, o który chodzi w zadaniu, jest tylko jej lewa gałąź, bo tylko te punkty spełniają poczynione w trakcie przekształceń założenia.
Zad. 2. Trójkąt równoboczny powstaje przez odpowiednie odcięcie naroża sześcianu, kwadrat jest przekrojem płaszczyzną równoległą do dwóch ścian (czy tylko taką?), foremny sześciokąt da się otrzymać płaszczyzną odkrawającą na każdej parze równoległych ścian przystające figury (symetryczne względem środka sześcianu). Więcej niż 6 boków przekrój sześcianu mieć nie może, bo powstają one jako przekroje najwyżej 6 ścian. Pozostaje zatem zastanowić się nad przekrojami pięciokątnymi. Muszą kroić pięć ścian, więc otrzyma się wówczas dwie pary boków równoległych (przekrój zawiera się w jednej płaszczyźnie i kroi równoległe ściany), a pięciokąt foremny takich boków nie ma, nie da się więc go uzyskać.
Zad. 3. Niech t będzie dowolną liczbą rzeczywistą i $x=y=\frac{1}{3}t$. Mamy wówczas:$$f(\frac{1}{3}t+\frac{1}{3}t)=f(\frac{2}{3}t)+f(t) ,$$ skąd $\ f(t)=0$.
Ponieważ wynik ten nie zależy od t, jedyną funkcją, która może spełniać warunki zadania, jest f(x)=0. Sprawdzenie, czy taka funkcja rzeczywiście jest rozwiązaniem, jest łatwe, ale niezbędne!$$f(x+y)=0=0+0=f(2x)+f(3y) .$$
