Zad. 1. W odległości √2 od środka sześcianu o krawędzi 2 przebiega płaszczyzna. Ile punktów wspólnych z krawędziami sześcianu może mieć?
Zad. 2. Ile jest liczb siedmiocyfrowych, których cyfry od lewej tworzą ciąg malejący?
Zad. 3. Punkty (0, 0), (1, 0) i (0, 1) pokolorowano na niebiesko. Dozwolone operacje to poprowadzenie prostej zawierającej co najmniej dwa niebieskie punkty oraz pokolorowanie na niebiesko obrazów wszystkich niebieskich punktów w symetrii względem dowolnej poprowadzonej prostej. Czy dzięki tym operacjom da się pokolorować punkt (-2012, 1/2013)? Uzasadnij!
Maksymalnym wynikiem w styczniu były 2 pkt i tyle zdobyli Robert Czwartosz, Paweł Kotyś i Arkadiusz Wróbel.
Tym samym w czołówce Ligi LO są teraz:
- z 10,5 pkt na 12 możliwych - Arkadiusz Wróbel z XIV LO w Warszawie,
- z 10 pkt - Paweł Kotyś z I LO w Oleśnie,
- z 9 pkt - Robert Czwartosz z LO w Trzebnicy,
- z 8,5 pkt - Maciej Cebula z I LO w Oleśnie,
- z 8 pkt - Bartosz Pawliczak z LO w Górze.
Gratulujemy wszystkim!
Zad. 1. 0, 1, 3 lub nieskończenie wiele.
Zad. 2. Jest ich tyle, ile możliwych wyborów siedmiu cyfr (lub trzech nieużytych) - każdy taki wybór odpowiada liczbie opisanej w zadaniu, bo z siedmiu danych liczb ciąg malejący można utworzyć tylko na jeden sposób (i zero nie stanowi kłopotu). Odpowiedzią jest więc [tex] {{10}\choose{3}}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3!}=120[/tex].
Zad. 3. nikt z Ligowiczów nie rozwiązał, natomiast stało się ono tak trudne z powodu chochlika edycyjnego - chodziło nam o punkt (-2012, 2013) - przepraszamy! Możliwość pokolorowania tego punktu część zawodników w swoich rozwiązaniach "po drodze" udowodniła, ponieważ jednak nie to było treścią zadania, postanowiliśmy nie przyznać punktów nikomu, natomiast na marzec zapowiadamy podobne zadanie, które może ułatwić rozwiązanie tego.
Na Nowy Rok
Widzę, że zadania coraz ciekawsze. Mam pytanie do zad. 2. Czy chodzi ogólnie o dowolny ciąg (podejrzewam, że tak), czy w domyśle arytmetyczny? W ogóle wszystkiego najlepszego w Nowym Roku, wielu interesujących wyzwań matematycznych i ogólnie, żeby ten rok był jak najlepszy
Odpowiedź
W treści zadania nie ma założenia, że ciąg ma być arytmetyczny.
Zad. 1
Czy płaszczyznę traktujemy jako "płaską" czy może być zagięta?
Płaszczyzna
Płaszczyzna to taka POWIERZCHNIA, która jest płaska.
Zad. 1. Sugerowana odpowiedź
Czy na pewno sugerowana odpowiedź jest dobra: 0, 1, 3 lub nieskończenie wiele? Wydaje mi się, że brakuje opcji 4, kiedy płaszczyzna przecina dwie krawędzie boczne i 2 krawędzie podstawy.
Zad. 1
Taka płaszczyzna biegłaby pomiędzy jedną krawędzią podstawy a środkiem sześcianu. Ponieważ odległość środka od każdej krawędzi wynosi pierwiastek z dwóch, płaszczyzna ta byłaby bliżej.
Odp. Zad. 1
Nie jestem jednak przekonany, bo rzeczywiście część płaszczyzny biegłaby pomiędzy jedną krawędzią podstawy a środkiem sześcianu, ale odległość mierzy się pod kątem prostym, więc odcinek równy odległości płaszczyzny od środka sześcianu nie musi się znajdować w całości wewnątrz sześcianu.
Płaszczyzna
Ale skoro prowadząc odcinek od środka sześcianu (nazwijmy go Ś) do środka tej krawędzi podstawy, przecięlibyśmy tę płaszczyznę, powiedzmy, w punkcie P, to odległość płaszczyzny od Ś nie mogłaby być większa niż długość PŚ, a ta jest mniejsza niż pierwiastek z 2...