Strona główna › LIGA ZADANIOWA › Szkoły średnie › rok szkolny 2012/13

styczeń 2013

Data ostatniej modyfikacji:
2013-03-17

Zad. 1. W odległości √2 od środka sześcianu o krawędzi 2 przebiega płaszczyzna. Ile punktów wspólnych z krawędziami sześcianu może mieć?

Zad. 2. Ile jest liczb siedmiocyfrowych, których cyfry od lewej tworzą ciąg malejący?

Zad. 3. Punkty (0, 0), (1, 0) i (0, 1) pokolorowano na niebiesko. Dozwolone operacje to poprowadzenie prostej zawierającej co najmniej dwa niebieskie punkty oraz pokolorowanie na niebiesko obrazów wszystkich niebieskich punktów w symetrii względem dowolnej poprowadzonej prostej. Czy dzięki tym operacjom da się pokolorować punkt (-2012, 1/2013)? Uzasadnij!

 

Wyniki: 

Maksymalnym wynikiem w styczniu były 2 pkt i tyle zdobyli Robert Czwartosz, Paweł Kotyś i Arkadiusz Wróbel.

Tym samym w czołówce Ligi LO są teraz:

  • z 10,5 pkt na 12 możliwych - Arkadiusz Wróbel z XIV LO w Warszawie,
  • z 10 pkt - Paweł Kotyś z I LO w Oleśnie,
  • z 9 pkt - Robert Czwartosz z LO w Trzebnicy,
  • z 8,5 pkt - Maciej Cebula z I LO w Oleśnie,
  • z 8 pkt - Bartosz Pawliczak z LO w Górze.

Gratulujemy wszystkim!

 

Odpowiedzi: 

Zad. 1. 0, 1, 3 lub nieskończenie wiele.

Zad. 2. Jest ich tyle, ile możliwych wyborów siedmiu cyfr (lub trzech nieużytych) - każdy taki wybór odpowiada liczbie opisanej w zadaniu, bo z siedmiu danych liczb ciąg malejący można utworzyć tylko na jeden sposób (i zero nie stanowi kłopotu). Odpowiedzią jest więc [tex] {{10}\choose{3}}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3!}=120[/tex].

Zad. 3. nikt z Ligowiczów nie rozwiązał, natomiast stało się ono tak trudne z powodu chochlika edycyjnego - chodziło nam o punkt (-2012, 2013) - przepraszamy! Możliwość pokolorowania tego punktu część zawodników w swoich rozwiązaniach "po drodze" udowodniła, ponieważ jednak nie to było treścią zadania, postanowiliśmy nie przyznać punktów nikomu, natomiast na marzec zapowiadamy podobne zadanie, które może ułatwić rozwiązanie tego.

 

‹ luty 2013w góręgrudzień 2012 ›

Na Nowy Rok

Bartosz (niezweryfikowany), wtorek, 01/01/2013 - 23:33

Widzę, że zadania coraz ciekawsze. Mam pytanie do zad. 2. Czy chodzi ogólnie o dowolny ciąg (podejrzewam, że tak), czy w domyśle arytmetyczny? W ogóle wszystkiego najlepszego w Nowym Roku, wielu interesujących wyzwań matematycznych i ogólnie, żeby ten rok był jak najlepszy

Odpowiedź

redakcja (niezweryfikowany), środa, 02/01/2013 - 17:55

W treści zadania nie ma założenia, że ciąg ma być arytmetyczny.

Zad. 1

Anonimowy (niezweryfikowany), środa, 30/01/2013 - 17:49

Czy płaszczyznę traktujemy jako "płaską" czy może być zagięta?

Płaszczyzna

redakcja (niezweryfikowany), piątek, 01/02/2013 - 18:53

Płaszczyzna to taka POWIERZCHNIA, która jest płaska.

Zad. 1. Sugerowana odpowiedź

Bartosz (niezweryfikowany), poniedziałek, 04/02/2013 - 20:26

Czy na pewno sugerowana odpowiedź jest dobra: 0, 1, 3 lub nieskończenie wiele? Wydaje mi się, że brakuje opcji 4, kiedy płaszczyzna przecina dwie krawędzie boczne i 2 krawędzie podstawy.

Zad. 1

redakcja (niezweryfikowany), środa, 13/02/2013 - 21:30

Taka płaszczyzna biegłaby pomiędzy jedną krawędzią podstawy a środkiem sześcianu. Ponieważ odległość środka od każdej krawędzi wynosi pierwiastek z dwóch, płaszczyzna ta byłaby bliżej.

Odp. Zad. 1

Bartosz (niezweryfikowany), czwartek, 14/02/2013 - 17:08

Nie jestem jednak przekonany, bo rzeczywiście część płaszczyzny biegłaby pomiędzy jedną krawędzią podstawy a środkiem sześcianu, ale odległość mierzy się pod kątem prostym, więc odcinek równy odległości płaszczyzny od środka sześcianu nie musi się znajdować w całości wewnątrz sześcianu.

Płaszczyzna

redakcja (niezweryfikowany), wtorek, 26/02/2013 - 09:40

Ale skoro prowadząc odcinek od środka sześcianu (nazwijmy go Ś) do środka tej krawędzi podstawy, przecięlibyśmy tę płaszczyznę, powiedzmy, w punkcie P, to odległość płaszczyzny od Ś nie mogłaby być większa niż długość PŚ, a ta jest mniejsza niż pierwiastek z 2...

Powrót na górę strony