Zad. 1. Dane jest naturalne n. Podaj wymiary najmniejszego prostokąta o całkowitych długościach boków, takiego że po skróceniu jego jednego wymiaru o n% i wydłużeniu o n% drugiego otrzyma się kwadrat.
Zad. 2. ABCD jest podstawą jednostkowego sześcianu, AA', BB', CC' i DD' - jego krawędziami, a O' - środkiem ściany A'B'C'D'. Oblicz objętość bryły będącej sumą ostrosłupów ABCDO' i ABCDB'.
Zad. 3. Rozwiąż równanie [tex]\frac{1}{\sqrt{|x|-|x-2|}}-\frac{1}{\sqrt{|x-1|+|x-3|}}=0[/tex].
Grudniowe zadania nie należały do najłatwiejszych i tylko Maciej Cebula oraz Arkadiusz Wróbel nadesłali bezbłędne rozwiązania (otrzymując za nie 3 pkt). 2,5 pkt przyznaliśmy Tomaszowi Skalskiemu, którego odpowiedzi były równoważne poprawnym, ale wyrażone w dziwnie skomplikowany sposób.
W Lidze LO prowadzą teraz:
- z 8,5 pkt na 9 możliwych - Arkadiusz Wróbel z XIV LO w Warszawie,
- z 8 pkt - Paweł Kotyś z I LO w Oleśnie,
- z 7,5 pkt - Maciej Cebula z I LO w Oleśnie,
- z 7 pkt - Robert Czwartosz z LO w Trzebnicy i Bartosz Pawliczak z LO w Górze.
Serdecznie gratulujemy!
Zad. 1. Chodzi o takie całkowite x i y, że (100-n)x/100 = (100+n)y/100, skąd x/y = 100+n/100-n,
zatem odpowiedzią są liczby: 100+n/NWD(100+n,100-n) i 100-n/NWD(100+n,100-n) .
Zad. 2. Niech S oznacza punkt wspólny odcinków BO' i B'D. W prostokącie B'BDD' nietrudno dostrzec, że trójkąty B'O'S i DBS są podobne w skali B'O':BD, czyli 1/2, co oznacza, że S leży w 1/3 odcinka B'D, a zatem (znów podobieństwa odpowiednich trójkątów) również odległość punktu S od ściany A'ABB' jest 1/3 jej odległości od ściany C'CDD', czyli wynosi 1/3. Szukaną objętość można obliczyć jako sumę objętości czworościanu ABCDO' (która wynosi 1/3·12·1 = 1/3) i objętości dwóch przystających, położonych symetrycznie względem płaszczyzny prostokąta B'BDD', czworościanów BB'AS i BB'CS. Objętość np. BB'AS można obliczyć, traktując ABB' jako podstawę - wysokością jest wówczas odcinek poprowadzony pod kątem prostym od S do ściany A'ABB', którego długość, jak już wiemy, wynosi 1/3. Ostatecznie więc szukana wartość to 1/3+2·1/3·1/2·1/3 = 4/9.
Zad. 3. Dziedziną równania jest zbiór x, dla których |x|>|x-2| (mianownik drugiego ułamka jest zawsze dodatni, bo nie ma x zerujących jednocześnie wyrażeń (x-1) i (x-3)). Pamiętając o dziedzinie, otrzymujemy równanie równoważne (równość dwóch ułamków o liczniku 1, więc równość pierwiastków w mianownikach, więc równość liczb podpierwiastkowych): |x|-|x-2|=|x-1|+|x-3| i dalej: |x|=|x-1|+|x-2|+|x-3|. Po lewej stronie mamy odległość punktu x na osi liczbowej od 0, a po prawej sumę odległości x od 1, 2 i 3, co jest równe wtedy i tylko wtedy (analiza możliwości na osi liczbowej), gdy xε[2,3], a wszystkie takie x są w dziedzinie wyjściowego równania (bo ich odległość od 0 jest większa niż od 2), więc jest to odpowiedź.
Czy wiesz, kto z wrocławskich matematyków został uwiecz-niony na tym znakomitym portrecie w piżamie? Kto jest autorem tego obrazu? Gdzie można go obejrzeć?
Jako młody chłopak Knaster ożenił się z poznaną w Paryżu Marią Morską - muzą Skaman-drytów (zm. w 1945 roku). W czasach wrocła-wskich jego drugą żoną była Regina Lewandowska. Pierwszej żonie Knastera poświęcona jest książka Hanny Faryny-Paszkiewicz "Opium życia".
Steinhaus twierdził, że nazwisko Knaster brzmi w dopeł-niaczu Knastra, a sam Knaster upierał się przy formie Knastera. 
Zadanie 2
Niebawem powinny pojawić się odpowiedzi do zadań. Proszę więc już teraz, aby rozwiązanie zadania 2 możliwie dokładnie wyjaśnić (a nie podać tylko wynik). Jest to jedno z najtrudniejszych zadań (przynajmniej do ogarnięcia), z jakimi spotkałem się w Lidze Zadaniowej.
Zad. 2
Mamy nadzieję, że przedstawione rozwiązanie da się 'ogarnąć', choć nie wykonaliśmy wszystkich rachunków i nie precyzowaliśmy niektórych kroków rozumowania. Zadanie wymagało przede wszystkim wyobraźni, bo przy odpowiednim spojrzeniu na opisaną sytuację geometryczną potrzebne wielkości łatwo daje się ustalić.
Jeszcze pytanie do zad. 2
O jakie trójkąty konkretnie chodzi? Analogiczne do tych poprzednich? Skąd zatem wiadomo, że dla analogicznych trójkątów do B'O'S i DBS punkt S jest ten sam?
Zad. 2 - rzutowania
Jeśli przez punkt S poprowadzić płaszczyznę równoległą do ABCD i punkt jej przecięcia z krawędzią BB' oznaczyć B", a punkt wspólny z DD' - jako D", to odcinki B'B" i DD" leżą w płaszczyźnie BB'D'D i są równoległe, więc trójkąty B'B"S i DD"S są podobne. Skala tego podobieństwa to B'S:DS, czyli 1/2, więc S dzieli odcinek B"D" w stosunku 1:3. Jeśli teraz rzuty S na ściany A'ABB' i CC'D'D oznaczyć odpowiednio przez X i Y, to punkty X, Y, B" i D" leżą na tej samej płaszczyźnie (równoległej do ABCD) i trójkąty B"SX i D"SY są podobne w skali B"S:D"S, czyli..., więc... Czy teraz jasne?
Dziękuję
Tak. Myślę, że teraz jasne. Dziękuję za odpowiedź.