styczeń 2017

Zad. 1. a) 3888 = MMMDCCCLXXXVIII w zapisie rzymskim jest 15-cyfrowa. Czy można znaleźć jeszcze dłuższy zapis?

b) 3999 = MMMCMXCIX (jest 9-cyfrowa). Liczby 4000 nie można zapisać w systemie rzymskim samymi cyframi, bo brakuje cyfry oznaczającej 5000. Liczbę 4000 zapisujemy, używając mnożnika 1000 (kreska nad liczbą). Mnożenie przez 1 000 000 zaznaczamy kreską nad i pod liczbą, dla wyższych mnożników stosujemy kreski z prawej i z lewej strony liczby, a potem kreski podwójne.

4000 = [tex]\overline{\mathrm{IV}}[/tex]

c)  10! = 3 628 800 = [tex]\overline {\underline{\mathrm{III}}}\overline{\mathrm{DCXXVIII}}\mathrm{DCCC} [/tex]
W rzymskim zapisie liczb stosujemy system dziesiętny, wydzielając rzędy i grupy dziesiętne, dlatego poniższy zapis, chociaż zrozumiały, jest niepoprawny.
[tex]\mathrm{\overline{MMMDCXXVIII}DCCC}[/tex]

Zad. 2. Oto przykłady liczb spokrewnionych:
liczby bliźniacze (twin primes) - pary liczb pierwszych różniących się o 2, np. (3, 5), (5, 7), (11, 13); do dziś nie wiadomo, czy bliźniaków jest skończenie czy nieskończenie wiele.
liczby stryjeczne (cousin primes) - pary liczb pierwszych różniących się o 4, np. (3, 7), (7, 11), (13, 17).
liczby trojacze (prime triplets) - trójki liczb pierwszych leżących w najmniejszych możliwych odległościach (tzn. postaci p, p+2, p+6 lub p, p+4, p+6). Oczywiście z każdych czworaczków można uzyskać dwie pary trojaczków, ale są też inne przykłady, np. (17, 19, 23), (37, 41, 43), (41, 43, 47).
liczby czworacze (prime quadruplets) - czwórki liczb pierwszych różniące się kolejno o 2, 4 i 2 (tzn. postaci p, p+2, p+6, p+8), zatem są to dwie pary bliźniaków w najbliższym możliwym sąsiedztwie, np. (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109). Ostatnimi cyframi czworaków są zawsze 1, 3, 7, 9.
liczby pięcioracze (prime quintuplets) - piątki liczb pierwszych leżących w najmniejszych możliwych odległościach (tzn. postaci p, p+2, p+6, p+8, p+12 lub p, p+4, p+6, p+10, p+12), np. (5, 7, 11, 13, 17), (11, 13, 17, 19, 23), (101, 103, 107, 109, 113). Pięcioraczki zawierają dwie pary bliźniaków, czworaczki i trzy nakładające się trojaczki.
liczby sześcioracze (prime sextuplets) - szóstki liczb pierwszych leżących w najmniejszych możliwych odległościach (tzn. postaci p, p+4, p+6, p+10, p+12, p+16), np. (7, 11, 13, 17, 19, 23), (97, 101, 103, 107, 109, 113), (16057, 16061, 16063, 16067, 16069, 16073). Sześcioraczki zawierają dwie pary bliźniaków, czworaczki, cztery nakładające się trojaczki i dwa nakładające się układy pięcioraczków.

Liczby zaprzyjaźnione nie były uznawane (przyjaźń to nie jest pokrewieństwo). 

Zad. 3.
a) abakus V wiek p.n.e, kipu V wiek n.e.
Istnieją ślady używania pisma węzełkowego przez cywilizacje Ameryki Południowej ok. 5 tysięcy lat temu, ale nie miały one formy kipu (zapisu dziesiętnej notacji liczbowej).
b) fluksja 1671 (Newton), różniczka 1672-76 (Liebniz)
c) kalkulator elektroniczny 1965 (Casio 001), zegarek elektroniczny 1972 (Pulsar P1)
Elektroniczny model ANITA Mark VII z 1961 był tylko sumatorem (chociaż elektronicznym).
ENIAC czy Colossus to raczej pierwsze komputery niż kalkulatory.
d) PTM 1920 (Polskie Towarzystwo Matematyczne), AMS 1894 (American Mathematical Society)
Od 1888 działało Nowojorskie Towarzystwo Matematyczne przekształcone później w AMS.
Od 1919 działało Towarzystwo Matematyczne w Krakowie przekształcone później w PTM.
e) MAA 1915 (Mathematical Asociation of America), AMM 1894 (American Mathematical Monthly)