grudzień 2016

Zad. 1. Tylko Fibonacci (~1175, 1250) był postacią historyczną. Tribonacci i Tetranacci to postacie zmyślone, które użyczyły swoich odliczebnikowych nazwisk ciągom zdefiniowanym w analogii do ciągu Fibonacciego. W ciągu Fibonacciego każdy każdy kolejny wyraz poza pierwszym i drugim powstaje przez zsumowanie dwóch poprzednich, w ciągu Tribonacciego - trzech poprzednich, a w ciągu Tetranacciego - czterech. Jest też inny związek tych ciągów z liczbami trzy i cztery. Granica stosunków kolejnych wyrazów ciągu Fibonacciego zaczynającego się od 0, 1 jest dodatnim pierwiastkiem równania kwadratowego x² = x+1 (liczba złota). Dla ciągu Tribonacciego zaczynającego się od 0, 0, 1 jest to pierwiastek równania trzeciego stopnia x³ = x²+x+1, a dla ciągu Tetranacciego zaczynającego się od 0, 0, 0, 1 jest to pierwiastek równania czwartego stopnia x⁴ = x³+x²+x+1.

Zad. 2. Przykładowe materiały to: złoto, srebro, brąz, miedź, nikiel, żelazo, plastik, lód, szkło.

• liczba złota = ^1+√5/₂ ≈ 1,6180... Dwie liczby dodatnie tworzą złoty stosunek, jeśli większa tak się ma do mniejszej, jak suma tych liczb do większej z nich. Liczba złota ta jest granicą stosunków kolejnych liczb Fibonacciego (a_n = a_n-1 + a_n-2, dla a₀=1, a₁=1). Wyraża stosunek przekątnej do boku pięciokąta foremnego. Jej rozinięcie w ułamek łańcuchowy składa się z samych jedynek. Jest dodatnim pierwiastkiem równania kwadratowego x² = x+1.
• liczba srebrna = 1+√2 ≈ 2,4142... Dwie liczby dodatnie tworzą srebrny stosunek, jeśli suma mniejszej i podwojenia większej ma się tak do większej jak większa do mniejszej. Liczba srebrna jest granicą stosunków kolejnych liczb Pella (a_n = 2a_n-1 + a_n-2, dla a₀=1, a₁=1). Wyraża stosunek drugiej przekątnej do boku ośmiokąta foremnego. Jej rozinięcie w ułamek łańcuchowy składa się z samych dwójek. Jest dodatnim pierwiastkiem równania kwadratowego x² = 2x+1.
• stałe metalowe - niewymierności kwadratowe, których rozwinięcia w ułamek łańcuchowy zawierają jedną powtarzającą się okresowo liczbę naturalną. Ogólna postać algebraiczna takich liczb to [tex]\frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}[/tex]. Są dodatnimi pierwiastkami równań x² = nx+1. Są granicami stosunków kolejnych liczb w ciagu a_n = na_n-1 + a_n-2, dla a₀=1, a₁=1. Wśród stałych metalowych dla n=1 otrzymujemy liczbę złotą, dla n=2 - srebrną, dla n=3 - brązową, dla n=4 - miedzianą, dla n=5 niklową. Liczbą metalową jest też 1 dla n=0.
• liczba brązowa =[tex]\frac{3+\sqrt{13}}{2}[/tex]≈ 3,3027... Liczba brązowa jest granicą stosunków kolejnych wyrazów ciągu a_n = 3a_n-1 + a_n-2, dla a₀=1, a₁=1.
• liczba miedziana =[tex]\frac{4+\sqrt{20}}{2}[/tex]≈4,2360...
• liczba niklowa =[tex]\frac{5+\sqrt{29}}{2}[/tex]≈ 5,1925...
• liczba plastikowa = [tex]\frac{\sqrt[3]{108+12\sqrt{69}}+\sqrt[3]{108-12\sqrt{69}}}{6}[/tex]≈ 1,3247... Jest jedynym pierwiastkiem rzeczywistym równania sześciennego x³ = x+1.
• stała lodowa = ^8√3/₉ ≈ 1,5396... W kombinatoryce określa liczbę orientacji eulerowskich grafu sieciowego. pojęcie zostało wprowadzone w 1967 roku przez amerykańskiego matematyka Elliotta Lieba.
• liczby gradowe - ciąg takich liczb można uzyskać z dowolnej liczby naturalnej (≠0) w następujący sposób: jeśli jest to liczba nieparzysta, następną w ciągu jest jej trzykrotność powiększona o 1, jeśli jest to liczba parzysta, następną w ciągu jest jej połowa. Nazwa pochodzi stąd, że kolejne wyrazy ciągu rosną i maleją w sposób przypominający wzrost ziaren gradu w chmurze gradowej.
• liczby lustrzane - są wzajemnie swoimi odbiciami jak 23 i 32.

W artykule Hugona Steinhausa "Liczby złote i żelazne" (Applicationes Mathematicae 1958 - wersja do pobrania) znajdujemy inną definicję liczb złotych i srebrnych. Liczba złota to ^√5-1/₂ (odwrotność standardowej liczby złotej), liczba srebrna to jej dopełnienie do 1, liczby złote to naturalne wielokrotnosci liczby złotej, a liczby srebrne to naturalne wielokrotności liczby srebrnej. Z kolei liczby żelazne są permutacją liczb natturalnych powstałą z uporządkowania liczb złotych względem rosnących mantys. Steinhaus dowodzi, że liczby żelazne mają własność proporcjonalnej reprezentacji, czyli rozstawiania kolejnych liczb w przedziałach wokół liczby n proporcjonalnie do długości tych przedziałów. Liczy te mają zastosowanie w statystyce.   

Zad. 3. Chodzi o teleturniej „20 Pytań” – jeden z pierwszych polskich teleturniejów, nadawany na początku lat 60. XX wieku będący adaptacją quizu "20 Questions" nadawanego w telewizji BBC. W programie uczestniczyły trzy 3-osobowe drużyny: matematyków, dziennikarzy i inżynierów. Turniej polegał na odgadnięciu słowa (znanego widzom) za opomocą zadawania prowadzącemu co najwyżej 20 pytań typu "tak-nie". Gra straciła sens i została usunięta z anteny w 1962, gdy drużyna matematyków z Uniwersytetu Warszawskiego w składzie Aleksander Pełczyński, Wiesław Szlenk i Robert Bartoszyński zaadaptowała na potrzeby turnieju algorytm przeszukiwania binarnego Wielkiej Encyklopedii Powszechnej i zapewniła sobie możliwość znalezienia hasła najpóźniej w osiemnastym pytaniu (liczba haseł encyklopedii nie przekraczała 2¹⁸). Kilka miesięcy po likwidacji "20 Pytań" ta sama ekipa realizacyjna (redaktor Ryszard Serafinowicz, asystentka Joanna Rostocka, scenograf Jan Laube) wprowadziła na antenę teleturniej "Wielka Gra" (na licencji BBC "Double Your Money").