Zad. 1. Adam i Bartek z nudów wymyślili pewna grę. Na kartce zapisali jeden za drugim ciąg k minusów. Grając, wykonują ruchy na przemian. W każdym ruchu gracz może zmienić jeden lub dwa sąsiednie minusy na plusy. Wygrywa ten, który zmieni ostatni minus. Adam wykonuje ruch jako pierwszy. Jak powinien grać, aby wygrać?
Zad. 2. Prostokąt, którego długości boków są liczbami naturalnymi, podzielono na kwadraty o boku 1. W każdy z kwadratów wpisano pewną liczbę całkowitą tak, że suma liczb w każdym wierszu była równa 1, a suma liczb w każdej kolumnie był równa 3. Czy pole prostokąta mogło być równe 2019?
Zad. 3. Dany jest różnoramienny trójkąt ABC. Na ile sposobów można zaznaczyć w płaszczyźnie tego trójkąta czwarty punkt D tak, żeby figura złożona z punktów A, B, C i D miała oś symetrii?
W styczniu punkty zdobyli:
- 2,5 pkt. – Wiktoria Mróz SP Wyrzysk, Michał Węgrzyn SP 9 Wrocław, Hanna Laszkiewicz ZSK Jelenia Góra, Mikołaj Bilski SP 6 Jelenia Góra, Marta Sibielec G 48 Wrocław, Gabriela Brzoza G Dwujęzyczne Góra, Agata ZSS Lefler Wołów i Tomasz Lefler ZSS Wołów;
- 2 pkt. – Cezary Rębiś ZSO Jedlnia-Letnisko, Aleksandra Strzelecka NSP Wilkowyja, Michał Plata SP 2 Syców i Karol Rybski SP Wola Taczowska;
- 1 pkt. – Wojciech Szwarczyński SP Kowalowa, Joanna Galik SP 5 Wrocław, Anna Cichowska SP 14 Lubin, Maja Frankowska SP 3 Lubin, Kacper Woszczek SP Mieroszów, Wojciech Haładewicz SP 1 Siechnice, Adam Chowanek SP Mieroszów i Michał Dźwigaj SP 1 Przemków.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Jeśli k jest nieparzyste, to w pierwszym ruchu Adam powinien skreślić środkowy minus, a jeśli jest parzyste - to dwa środkowe minusy. Każdy następny ruch Adam powinien wykonywać symetrycznie do ruchu przeciwnika względem środka ciągu minusów. Jeśli Bartek mógł wykonać ruch, to Adam ma również taką możliwość, więc nigdy nie przegra.
Zad. 2. Niech prostokąt ma m wierszy i n kolumn. Suma wszystkich wpisanych liczb, dodając je wierszami, wynosi m, a dodając je kolumnami 3n. Stąd wynika, że m = 3n i pole prostokąta wynosi mn = 3n2. Jednak równanie 3n2 = 2019 nie ma rozwiązania w liczbach naturalnych, więc pole prostokąta nie mogło być równe 2019.
Zad. 3. Jeśli zbiór 4-punktowy ma mieć oś symetrii, musi ona przechodzić przez dwa z tych punktów (wtedy pozostałe dwa punkty leżą względem niej symetrycznie), albo nie przechodzić przez żaden z tych punktów (wtedy punkty parami leżą względem niej symetrycznie). W każdym innym przypadku zbiór musi składać się z 5 punktów (na osi leży 1 lub leżą 3 z nich), albo wszystkie punkty są współliniowe (na osi leżą 4 z nich, ale wtedy A, B, C nie tworzą trójkąta). Są trzy możliwości poprowadzenia osi symetrii przez dwa punkty (to proste zawierające kolejne boki trójkąta) - trzeci wierzchołek nie leży na żadnej z nich, więc odbija się w każdej symetrycznie, dając możliwy punkt D - oraz trzy możliwości poprowadzenia osi symetrii, względem której każda para wierzchołków będzie już symetryczna (to symetralne boków trójkąta) - trzeci wierzchołek nie leży na żadnej z nich, bo trójkąt nie jest równoramienny, więc odbija się w każdej symetrycznie, dając możliwy punkt D. Otrzymamy zatem 6 możliwych położeń punktu D. Tak będzie w każdym przypadku z wyjątkiem tego, gdy punkty A, B, C stanowią wierzchołki trójkąta prostokątnego. Wówczas jest tylko 5 możliwych położeń punktu D, gdyż te uzyskane w symetrii względem prostych będących symetralnymi przyprostokątnych, pokryją się.
Tradycja bożo-narodzeniowych jarmarków we Wrocławiu sięga XVI wieku. Jedną z ich atrakcji bywała dawniej "legnicka bomba". Co to było? 
