Zad. 1. Oblicz sumę współczynników wielomianu W(x) = 1 + (4x–1) + (4x–1)2 +…+ (4x–1)k, gdzie k∈N.
Zad. 2. Zbadaj ciągłość i różniczkowalność funkcji f(x) = x·D(x), gdzie D(x) jest funkcją Dirichleta, która dla argumentów niewymiernych przyjmuje wartość 0, a dla wymiernych - wartość 1.
Zad. 3. Łącząc środki kolejnych boków pięciokąta wypukłego otrzymano łamaną zamkniętą o długości 6,284 cm. Jaka jest suma długości wszystkich przekątnych tego pięciokąta?
W styczniu punkty zdobyli:
- 3 pkt. – Joanna Lisiowska XXI LO Warszawa i Piotr Zug I LO Olesno;
- 2,5 pkt. – Mikołaj Dyblik VII LO Wrocław, Michał Tokarski II LO Oleśnica, Marcin Wiśniewski LO Ząbkowice Śląskie i Szymon Misiewicz CKZiU Strzelin;
- 2 pkt. – Wiktoria Malinowska XXVII LO Warszaw, Laura Stefanowska Katolickie LO Legnica, Łukasz Goliczewski LO Góra, Alex Kalinowski LO Góra, Adrian Szymański II LO Oleśnica i Julia Musiał II LO Tczew;
- 1,5 pkt. – Kasper Radom II LO Lubin i Jakub Dobrzański I LO Lubin.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. W(x) jest wielomianem stopnia k, więc jest postaci W(x) = a0 +a1x + … + akxk. Suma współczynników wielomianu jest równa a0 + a1 + … + ak = W(1) = 1 + (4.1–1) + (4.1–1)2 +…+ (4.1–1)k = 1+3+32+…+3k. Obliczając sumę k+1 początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie 1 i ilorazie 3, otrzymujemy W(1) = [tex]\frac{1-3^{k+1}}{1-3} = \frac {3^{k+1}-1}{2}[/tex].
Zad. 2. Weźmy dowolne x0 ϵ R i rozważmy dwa ciągi liczb zbieżne do x0: {wn} - ciąg liczb wymiernych oraz {un} - ciąg liczb niewymiernych. Takie ciągi zawsze istnieją (dlaczego?). Zachodzą wówczas warunki:
[tex] \lim_{n\to\infty}f(w_n) = \lim_{n\to\infty}(w_n \cdot D(w_n)) = \lim_{n\to\infty}w_n \cdot \lim_{n\to\infty} D(w_n) = x_0\cdot 1 = x_0 [/tex] i
[tex] \lim_{n\to\infty}f(u_n) = \lim_{n\to\infty}(u_n \cdot D(u_n)) = \lim_{n\to\infty}u_n \cdot \lim_{n\to\infty} D(u_n) = x_0\cdot 0 = 0[/tex].
Stąd wynika, że dla x0≠0 granica funkcji f w punkcie x0 nie istnieje. Natomiast dla x0=0 mamy f(x0) = 0·D(0) = 0 oraz dla każdego ciągu {xn} zbieżnego do x0 zachodzą nierówności 0 ≤ |f(xn)| = |xn·D(xn) = |xn|·|D(xn)| ≤ |xn|, z których na mocy twierdzenia o trzech ciągach wynika, że [tex] \lim_{n\to\infty}f(x_n) = 0[/tex]. Zatem funkcja f jest ciągła w punkcie x0=0 i tylko w nim.
Ponieważ
[tex]\frac{f(w_n)-f(0)}{w_n-0} = \frac{w_n \cdot D(w_n)-0 \cdot D(0)}{w_n} = D(u_n) = 0[/tex]
oraz
[tex]\frac{f(u_n)-f(0)}{u_n-0} = \frac{u_n \cdot D(u_n)-0 \cdot D(0)}{u_n} = D(w_n) = 1[/tex],
nie istnieje granica ilorazu różnicowego funkcji f w punkcie x0 = 0, czyli funkcja f nie ma pochodnej w punkcie x0=0.
Zad. 3. Długość każdego odcinka łączącego środki dwóch kolejnych boków wielokąta jest dwukrotnie mniejsza niż długość przekątnej łączącej początek pierwszego z końcem drugiego boku. Przekątna ta jest równoległa do tego odcinka i dwa razy dłuższa na mocy twierdzenia o linii środkowej trójkata. Zatem suma długości wszystkich przekątnych jest równa 2 . 6,284 = 12,568 m.
Czy wiesz, kto z wrocławskich matematyków został uwiecz-niony na tym znakomitym portrecie w piżamie? Kto jest autorem tego obrazu? Gdzie można go obejrzeć?
Jako młody chłopak Knaster ożenił się z poznaną w Paryżu Marią Morską - muzą Skaman-drytów (zm. w 1945 roku). W czasach wrocła-wskich jego drugą żoną była Regina Lewandowska. Pierwszej żonie Knastera poświęcona jest książka Hanny Faryny-Paszkiewicz "Opium życia".
Steinhaus twierdził, że nazwisko Knaster brzmi w dopeł-niaczu Knastra, a sam Knaster upierał się przy formie Knastera. 
