Matematyka pod stopami (2)

Data ostatniej modyfikacji:
2009-11-4
Autor: 
Piotr Pawlikowski
nauczyciel matematyki w I LO w Kluczborku
Poziom edukacyjny: 
gimnazjum
Dział matematyki: 
geometria syntetyczna

W artykule Matematyczne mozaiki w sercu Wenecji możemy podziwiać wspaniałe mozaiki z bazyliki św. Marka, jednak wcale nie trzeba wybierać się w tak daleką podróż, by zobaczyć interesujące z matematycznego punktu widzenia posadzki, chodniki, czy wycieraczki. Wystarczy zwrócić uwagę na to, po czym chodzimy na co dzień.

Kostki brukowe mają zazwyczaj kształt figur, którymi można szczelnie wypełnić płaszczyznę (powstaje wtedy parkietaż). Nawet jeżeli są to zwyczajne prostokąty, to mogą być układane na kilka różnych sposobów. Można też napotkać kostki o bardziej oryginalnych kształtach.

Niektóre parkietaże powstają z kostek jednego kształtu, inne z dwóch, trzech lub więcej. Jeśli do parkietażu wykorzystujemy tylko jeden rodzaj kostek w kształcie wielokąta foremnego, parkietaż nazywamy (w analogii do wielościanu) platońskim lub foremnym. Ile jest takich możliwych parkietaży? Jeśli używamy kostek w kształcie różnych wielokątów foremnych, przy czym wszystkie węzły parkietażu są identyczne, parkietaż nazywamy (znowu w analogii do wielościanu) archimedesowym lub półforemnym. Czy potrafisz wskazać ich przykłady na poniższych zdjęciach?

A gdzie szukać ciekawych posadzek? Najprościej na ulicy. Czy potrafisz odnaleźć wszystkie prezentowane niżej wzory na wrocławskich trotuarach? Czasem warto też obejrzeć parkiet w mieszkaniu znajomych, zajrzeć do starych kamienic, kościołów lub innych budynków. Zapraszamy do obejrzenia galerii i do własnych poszukiwań interesujących parkietaży. Nadesłane zdjęcia chętnie opublikujemy.

Parkietaże z prostokątów

Niby taka prosta figura, a zauważcie, ile daje możliwości skomponowania parkietażu.

Parkietaże ze zmodyfikowanych prostokątów

Czy potrafisz opisać, w jaki sposób przekształcono prostokąt, aby otrzymać kształty poniższych kostek brukowych?

 

Można zauważyć, że pionowe rozcięcie płytki  z piątego z kolei zdjęcia daje parkietaż archimedesowy z kwadratów i ośmiokątów - jeden z prezentowanych niżej.

Parkietaże z prostokątów i innych figur

Ciekawe możliwości daje połączenie prostokątów kilku rodzajów (w tym prostokąta z kwadratem), a także z dwunastokątem wklęsłym w kształcie krzyża greckiego.

Parkietaże z kwadratów

Wydaje się, że parkietaż wykonany z kwadratów musi być bardzo prosty i niczym nie może nas zaskoczyć.

Wystarczy jednak wykorzystać kwadraty dwóch rodzajów, aby uzyskać niezwykle ciekawy matematycznie wzór. Taki chodnik można zobaczyć w kilku miejscach na ul. Sienkiewicza we Wrocławiu, m.in. przed Szkołą Podstawową nr 91. Zauważcie, że kwadraty wypełnią w ten sposób płaszczyznę niezależnie od rozmiarów ciemnej kostki. Ponadto parkietaż ten stanowi geometryczny dowód twierdzenia Pitagorasa. Dlaczego?

Bok pomarańczowego kwadratu z rysunku wyżej stanowi przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego. Kostki chodnika są kwadratami zbudowanymi na przyprostokątnych tego trójkąta. Można zauważyć, że suma pól jasnego i ciemnego kwadratu daje pole kwadratu pomarańczowego. 

Parkietaże z rombów

Parkietaże w pierwszym rzędzie dają złudzenie optyczne sześciennych kostek ustawionych jedne na drugich na różne sposoby. Zdjęcia drugie i trzecie przedstawiają ten sam układ, ale wrażenie jest znacznie silniejsze w przypadku trzeciego zdjęcia, na którym romby są w różnych kolorach. Parkietaż na zdjęciu czwartym również jest nietypowy - ma symetrię gwiaździstą.

Parkietaże z sześciokątów foremnych

Parkietaż na trzecim zdjęciu jest właściwie zbudowany z trapezów równoramiennych stanowiących połówki foremnego sześciokąta. Fotografię tę wykonano we wrocławskiej katedrze.

Parkietaże ze zmodyfikowanych sześciokątów foremnych

Parkietaże z sześciokątów nieforemnych

Pierwsze zdjęcie zostało wykonane na cmentarzu Père Lachaise w Paryżu (grobowiec Abelarda i Heloizy), a drugie to fragment dachu w niemieckiej Kleinwelce koło Budziszyna.

Parkietaże z sześciokątów i czworokątów

Parkietaż z pierwszego zdjęcia z sześciokątów foremnych i rombów jest powtórzony na drugim zdjęciu, ale obie płytki zostały zmodyfikowane. Ciekawy jest parkietaż ze zdjęcia trzeciego. Składa się z kwadratowych płytek w trzech rozmiarach oraz sześciokątów nieforemnych.

Parkietaże z sześciokątów i innych figur

To ciekawy parkietaż z nieforemnych sześciokątów i pięciokątów z cmentarza Père Lachaise w Paryżu.

Parkietaże z ośmiokątów i kwadratów

Ośmiokąty w tych parkietażach są foremne, zatem są to parkietaże półforemne (zwane też, w analogii do wielościanów półforemnych, archimedesowymi). Użyto do nich tylko wielokątów foremnych (dwóch rodzajów). Wszystkie przedstawiają ten sam układ figur.

 

A ośmiokąty w tych parkietażach nie są foremne (dlaczego?). Zatem nie są to parkietaże półforemne. Ciekawy jest ten, z ostatniego zdjęcia - można nań patrzeć także jako na parkietaż a) z kwadartów i nieforemnych pięciokątów, b) z kwadratów i nieforemnych sześciokątów lub c) z kwadratów i wklęsłych dwunastokątów w kształcie greckiego krzyża.

 

Parkietaże ornamentowe

Efektowne parkietaże można łatwo uzyskiwać z form podstawowych, wprowadzając na płytce pewien ornament. Układając parkietaż np. z płytek trójkątnych lub rombowych z prostym ornamentem, otrzymuje się często nieoczekiwane desenie.

Poniższe posadzki wykonano z płytek kwadratowych z ornamentem. Czy potrafisz wskazać na nich formę podstawową?

 

Parkietaże w Ołomuńcu i Barcelonie

Na zdjęciu jest ciekawy parkietaż z foremnych sześciokątów i równobocznych gwiazd sześcioramiennych (tzn. przenikających się wzajemnie dwóch trójkątów równobocznych albo, inaczej mówiąc, równobocznych dwunastokątów wklęsłych). Zdjęcie wykonano wewnątrz kolumny dziękczynnej na Rynku w Ołomuńcu w Czechach (nota bene podczas wyjazdu nauczycieli z seminarium I3 Matematyczny Wiedeń).

 

Identyczny deseń znalazłam na ścianie jednego z domów w Barcelonie. Ciekawe, że można patrzeć nań na dwa sposoby:

  • ciemne gwiazdy sześcioramienne i jasne sześciokąty foremne (z wpisanym trójkątem równobocznym),
  • jasne sześciokąty foremne (z wpisaną gwiazdą sześcioramienną) i ciemne trójkąty równoboczne.

Ołomuniec po raz drugi

To jest parkietaż z kwadratów i ośmiokątów foremnych na posadzce katedry św. Wacława w Ołomuńcu.

Parkietaż z gwiazdami

Bazą tego parkietażu jest układ kwadratów, które następnie zmodyfikowano. Wykorzystano w nim gwiazdy ośmioramienne (tzn. przenikające się wzajemnie kwadraty lub - inaczej mówiąc - wklęsłe szesnastokąty), a drugą figurą użytą w parkietażu jest inny rodzaj wklęsłych szesnastokątów.

Parkietaż w Berlinie

Ciekawy parkietaż z trapezów równoramiennych będących połówkami sześciokąta foremnego (ale inaczej ułożonych niż na zdjęciu z katedry wrocławskiej prezentowanym w artykule) znajduje się przed lotniskiem w Berlinie.

Parkietaż w Sienie

A to parkietaż z rombów na posadzce katedry w Sienie (Włochy). Ich układ jest taki sam, jak na zdjęciu w artykule, ale mimo braku cieniowania kafli, też daje miłe wrażenie przestrzennie ułożonych sześcianów. Dodam, że pochodzi on z XIII wieku.

Parkietaże na Zamku Książ

Parkietaż rombowy dający złudzenie optyczne sześcianów znalazłam w wejściu do Zamku Książ koło Wałbrzycha. Różni się od poprzednich tym, że wykorzystano w nim dwa rodzaje rombów o różnych kątach między bokami, przez co złudzenie jest silniejsze.

 

 

Wewnątrz Zamku jeszcze jeden ciekawy parkietaż z kwadratów i dwóch rodzajów dwunastokątów - foremnych wypukłych oraz nieforemnych wklęsłych.

Oba zdjęcia wykonano podczas wycieczki uczestników Międzynarodowej Olimpiady Lingwistyki Matematycznej.

Parkietaż w Mysłakowicach

Ciekawy parkietaż krzywoliniowy ze zmodyfikowanych prostokątów można zobaczyć przed budynkiem SP i GIM w Mysłakowicach.

Zdjęcie zrobiono podczas wycieczki nagrodowej dla zwycięskich klas Matematyki bez granic 2010.

Powrót na górę strony