Graniastosłupy i ostrosłupy* (kl. 3)

stopień trudności:

• trudniejszy przeznaczony dla klas z rozszerzonymi treściami z matematyki
•  zadanie z (*) obowiązkowe na ocenę celującą
•  grupy A i B mają ten sam stopień trudności

ocenianie:
21-22 - celujący
18-20 - bardzo dobry
15-17 - dobry
11-14 - dostateczny
8-10 - dopuszczający
0-7 - niedostateczny

czas pisania: 45 minut

typ sprawdzianu:

• sprawdzający wiadomości po zakończeniu działu tematycznego, uczeń powinien przedstawić pełny tok rozumowania i obliczenia
• może być wykorzystany jako powtórzenie wiadomości z danego działu przed testem kompetencji

grupa A (22 pkt)

Zad. 1. (3 pkt) Dwa graniastosłupy są podobne. Większy z nich ma objętość o 237,5 % większą od mniejszego. Podaj skalę podobieństwa większego graniastosłupa do mniejszego?

Zad. 2. (3 pkt) Objętość czworościanu foremnego jest równa [tex]\frac{16\sqrt{2}}{3}[/tex]cm³. Oblicz wysokość ściany bocznej tego czworościanu.

Zad. 3. (4 pkt) Przekątna największej ściany bocznej graniastosłupa prostego ma długość 8√3 cm i tworzy z krawędzią podstawy kąt 30°. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tej bryły, wiedząc, że podstawa graniastosłupa jest trójkątem prostokątnym równoramiennym.

Zad. 4. (3 pkt) Ostrosłup prawidłowy czworokątny przecięto płaszczyzną przechodzącą przez środek wysokości ostrosłupa i równoległą do płaszczyzny podstawy. Wiadomo, że przekątna podstawy ma długość 6√2 cm, a krawędź boczna - 10 cm. Oblicz objętość każdej z części ostrosłupa, na które podzieliła go poprowadzona płaszczyzna.

Zad. 5. (2 pkt) Z arkusza kartonu o wymiarach 30 cm x 21 cm wycięto w rogach kwadraty o boku 4 cm i złożono z niego pudełko. Jaką ma pojemność?

Zad. 6. (3 pkt) W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym, którego wszystkie krawędzie mają długość 12 cm, poprowadzono płaszczyznę zawierającą krawędź podstawy i środek przeciwległej krawędzi bocznej. Oblicz pole powierzchni otrzymanego przekroju.

Zad. 7. (4 pkt) Z sześcianu o krawędzi 10 cm odcięto naroże w ten sposób, że każda z krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka została podzielona w stosunku 2:3 (licząc od wierzchołka). Oblicz:
a) jaki procent sześcianu stanowiło odcięte naroże.
b*) ile razy powierzchnia sześcianu jest większa od powierzchni naroża.

grupa B (22 pkt)

Zad. 1. (3 pkt) Dwa graniastosłupy są podobne. Większy z nich ma objętość o 1462,5 % większą od mniejszego. Podaj skalę podobieństwa mniejszego graniastosłupa do większego.

Zad. 2. (3 pkt) Objętość czworościanu foremnego jest równa 18√2 cm³. Oblicz wysokość ściany bocznej tego czworościanu.

Zad. 3. (4 pkt) Przekątna największej ściany bocznej graniastosłupa prostego ma długość 8 cm i tworzy z krawędzią podstawy kąt 60°. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tej bryły, wiedząc, że podstawa graniastosłupa jest trójkątem prostokątnym równoramiennym.

Zad. 4. (3 pkt) Ostrosłup, którego wszystkie krawędzie boczne mają równe długości, został przecięty płaszczyzną równoległą do podstawy w odległości 8 cm od niej. Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o przekątnej 10 cm. Długości krawędzi podstawy pozostają w stosunku 3:4. Krawędź boczna ostrosłupa ma długość 13 cm. Oblicz objętość górnej części odciętej z ostrosłupa.

Zad. 5. (2 pkt) Z arkusza kartonu o wymiarach 38 cm x 30 cm wycięto na rogach kwadraty o boku 6 cm i złożono z niego pudełko. Jaka jest jego pojemność?

Zad. 6. (3 pkt) W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym, którego wszystkie krawędzie mają długość 24 cm, poprowadzono płaszczyznę zawierającą krawędź podstawy i środek przeciwległej krawędzi bocznej. Oblicz pole powierzchni otrzymanego przekroju.

Zad. 7. (4 pkt) Z sześcianu o krawędzi 15 cm odcięto naroże w ten sposób, że każda z krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka została podzielona w stosunku 3:2 (licząc od wierzchołka). Oblicz:
a) jaki procent sześcianu stanowiło odcięte naroże.
b*) ile razy powierzchnia sześcianu jest większa od powierzchni naroża?

odpowiedzi
grupa A
1. 3:2
2. 2√3 cm
3. P_c =(72 + 48√3 + 48√6) cm², V = 144√3 cm³
4. V_{górnej części} = 1,5√82 cm ³, V_{dolnej części} = 10,5√82 cm ³
5. 1140 cm³
6. 72 cm²
7. 1[tex]\frac{1}{15}[/tex]%, 12,5(√3 - 3)

grupa B
1. 5:2
2. 2√3 cm
3. P_c =(8+ 16√3 + 16√6) cm², V = 16√3 cm³
4. V_{górnej części} =7,(1) cm ³
5. 2808 cm³
6. 288 cm²
7. 3,6%, [tex]\frac{25}{54}[/tex] (√3 - 3)

kryteria oceniania
1. 1 pkt za zapis procentowego związku między objętościami, 1 pkt za zamianę procentów na liczbę i ustalenie, że skala podobieństwa to pierwiastek 3 stopnia z tej liczby, 1 pkt za odpowiedź
2. 1 pkt za podanie wysokości czworościanu za pomocą długości krawędzi lub wysokości ściany, 1 pkt za wyrażenie objętości czworościanu za pomocą długości krawędzi lub wysokości ściany i wstawienie danych z zadania, 1 pkt za wynik
3. 1 pkt za wyznaczenie długości krawędzi bocznej, 1 pkt za wyznaczenie krawędzi podstawy, 1 pkt za pole powierzchni, 1 pkt za objętość
4. gr. A: 1 pkt za wyznaczenie długości krawędzi podstawy, 1 pkt za wysokość ostrosłupa, 1 pkt za obliczenie objętości górnej części jako 1/8 objętości ostrosłupa,  gr. B: 1 pkt za wyznaczenie długości krawędzi podstawy, 1 pkt za obliczenie skali podobieństwa, 1 pkt za obliczenie objętości odciętej części jako 1/27 objętości ostrosłupa
5. 1 pkt za wyznaczenie wymiarów pudełka, 1 pkt za objętość
6. 1 pkt za rysunek z zaznaczonym przekrojem - trójkątem równoramiennym, 1 pkt za obliczenie długości ramion trójkąta, 1 pkt za pole powierzchni przekroju
7. 1 pkt za wyznaczenie wymiarów naroża, 1 pkt za stosunek objętości, 1 pkt za obliczenie powierzchni naroża, 1 pkt za stosunek pól (po usunięciu niewymierności z mianownika)