Liczby wymierne i niewymierne (kl. 1)

stopień trudności: standardowy 

ocenianie:
23-24 - celujący
20-22- bardzo dobry
16-19 - dobry
12-15 - dostateczny
8-11  - dopuszczający
0-7 - niedostateczny

czas pisania: 45 minut

typ sprawdzianu:

• sprawdzający wiadomości po zakończeniu większej partii materiału,
• uczeń powinien przedstawić rachunki,
• może być wykorzystany jako powtórzenie wiadomości przed testem kompetencji, wtedy można go potraktować jako test krótkiej odpowiedzi, w którym uczeń podaje tylko ostateczne wyniki

Zad. 1. (4 pkt.) Wykonaj obliczenia.
a) 3¹/₄ ∙ (-0,4) + 3¹/₄ ∙ (-15,6)
b) (-0,4)² : (-⁴/₂₅) + 0,75 : ⁹/₁₆ + (-1)² - (-2)³

Zad. 2. (2 pkt.) Przedstaw liczbę 1,(23) w postaci ułamka zwykłego.

Zad. 3. (3 pkt.) Rozstrzygnij, która z liczb jest większa. Odpowiedzi uzasadnij.
a) 2√3 czy 3√2
b) 5√6 czy 6√5
c) -8√7 czy -7√8

Zad. 4. (3 pkt.) Podaj ostatnią cyfrę liczby 2¹⁴⁷+7²⁵+3¹⁵. Odpowiedź uzasadnij.

Zad. 5. (3 pkt.) Sprawdź, czy liczba √12 + 3√48 - 2√75 jest wymierna.

Zad. 6. (6 pkt.) Oblicz wartości wyrażeń arytmetycznych.

a) [tex]\sqrt{\sqrt{9} + \sqrt{4} - \sqrt{16}}[/tex]

b) [tex]\sqrt{1+ \sqrt{12+\sqrt[3]{-27}}}[/tex]

c) [tex]\sqrt[3]{17 \cdot \sqrt{9} + \sqrt{169}}[/tex]

Zad. 7. (3 pkt.) Ze zbioru {0, (-3)^-3, ¹/₃, √9, (-¹/₃)², √7, (-¹/2)^-11, ^π/₃} wypisz liczby:
a) naturalne
b) całkowite
c) ujemne
d) wymierne
e) niewymierne
f) rzeczywiste.

kryteria oceniania:
1. Po 2 pkt za podpunkt. Przyznajemy 1 punkt, gdy odpowiedź nie jest maksymalnie uproszczona lub gdy rachunek zawiera jakiś drobny błąd.
2. Przyznajemy 1 pkt. za metodę i 1 pkt za wynik.
3. Po 1 pkt za każdą odpowiedź
4. Po 1 pkt za ustalenie ostatniej cyfry każdej z potęg
5. Przyznajemy 2 pkt za uproszenie wyniku i 1 za uzasadnienie niewymierności.
6. Po 2 pkt za podpunkt. Przyznajemy 1 punkt, gdy odpowiedź nie jest maksymalnie uproszczona lub gdy rachunek zawiera jakiś drobny błąd.
7. Po 1/2 pkt za każdą poprawną odpowiedź

odpowiedzi:

1. a) -52, b) 9¹/₃

2. Jeśli 1,(23) reprezentuje jakąś liczbę rzeczywistą, to oznaczmy ją przez x. Wtedy mamy równanie 1,(23)=x, które możemy pomnożyć stronami przez 100. Otrzymujemy 123,(23) = 100x, czyli 123+x = 100x. Stąd 99x = 122 i w końcu 1,(23) = x = ¹²²/₉₉.

3. a) 2√3 < 3√2, bo obie strony są dodatnie, więc po podniesieniu do kwadratu nierówność się zachowa i  12 < 18.
b) 5√6 < 6√5, bo 25·6 = 5·5·6 < 5·6·6 = 36·5
c) -8√7 < -7√8, bo obie strony są ujemne, wiec po podniesieniu do kwadratu znak się zmieni i 8·8·7 > 7·7·8. 

4. Potęgi dwójki powtarzają się okresowo co 4. 147 daje z dzielenia przez 4 resztę 3. 2¹⁴⁷ ma tę samą cyfrę jedności co 2³, czyli 8. Potęgi trójki też powtarzają sie okresowo co 4. 15 daje z dzielenia przez 4 resztę 3. 3¹⁵ ma tę samą cyfrę jedności co 3³, czyli 7. Potęgi siódamki także powtarzają się okresowo co 4. 25 daje z dzielenia przez 4 resztę 1. 7²⁵ ma tę samą cyfrę jedności co 7¹, czyli 7. Ostatnie cyfry składników sumują się do 8+7+7 = 22, wiec ostatnią cyfrą szukenej liczy jest 2.

5. Po uproszczeniu otrzymujemy wynik 4√3. Jest to liczba niewymierna, bo jest równa √48, a to jest liczba pomiędzy 6 = √36 i 7 = √49. Pierwiastki kwadratowe z liczb naturalnych są albo naturalne, albo niewymierne. 

6. a) 1, b) 2, c) 4

7. a) √9 (przynależność 0 do zbioru liczb naturalnych zależy od umowy)
b) 0, √9, (-¹/2)^-11
c) (-3)^-3_, (-¹/2)^-11
d) wszystkie poza e)
e) √7, π/3
f) wszystkie