Potęgi i pierwiastki

stopień trudności: średnio trudny

czas pisania: 45 minut

przeznaczenie: zestaw zadań może być wykorzystany na sprawdzianie, do pracy na lekcji (np. w parach) lub jako zadanie domowe

ocenianie:
25 - 30 - bardzo dobry
20 - 24 - dobry
15 - 19 - dostateczny
10 - 14 - dopuszczający
0 - 9 - niedostateczny

grupa A

Zad. 1. (4 pkt) Dane są liczby:
a=−(2^-1·2²·2)^-1,
b=−(4⁰)−1⁰+5⁰−([tex]\frac{1}{5}[/tex])^-1,
c=[tex]\sqrt{1\frac{9}{16}[/tex]−[tex]\sqrt[3]{8}[/tex]+[tex]\sqrt{1:2\frac{1}{4}[/tex].
Oceń prawdziwość zdań (zaznacz: P - jeśli zdanie jest prawdziwe, F - jeśli jest fałszywe).
a) a < −c <−0,5b
b) a < −0,3
c) b < a < c
d) a < 0,1b <c

Zad. 2. (1 pkt ) Maciej wykonał następujące obliczenia:
I. [tex]\sqrt{100}-\sqrt{144}+2\sqrt{25}=8[/tex],
II. [tex]\sqrt{225}-(-2)^3-3^2+(-2)^2=1[/tex],
III. [tex]\sqrt{36}\cdot(\frac{1}{2})^3-\sqrt{81}:9-\sqrt[3]{64}=-4,25[/tex],
IV. [tex]\sqrt{225-100}+\sqrt[3]{54:2}=8[/tex].
Gdzie popełnił błąd?
a) nigdzie    
b) tylko w IV    
c) tylko w I i III    
d) tylko w II i IV

Zad. 3. (4 pkt) Przypisz każdemu z wyrażeń literę przyporządkowaną jego wartości.
a) [(−1)⁰−2^-3]·([tex]\frac{1}{2}[/tex])^-4
b) 5²−([tex]\frac{1}{5}[/tex])^-2
c) √8−√2
d) 2√50·3√12
A. 24[tex]\frac{24}{25}[/tex]     B. 30√6      C. 2√2     D. 0      E. √6
F. 60√6     G. √2     H. 14     I. 5√62     J. 5√600

Zad. 4. (4 pkt) Oceń prawdziwość zdań. Zaznacz: P - jeśli zdanie jest prawdziwe, F - jeśli jest fałszywe. Wyrażenie (3^-1 − 2^-2)^-2 jest równe:
a) 3²−2⁴
b) [tex]\frac{1}{(3^{-1}-2^{-2})^{2}}[/tex]
c) 144
d) 3^-3−2^-4

Zad. 5. (3 pkt) Wstaw znak nierówności lub równości.
a) [tex]\sqrt{4^{2}+5^{2}[/tex] ... 3
b) −0,2³ ... −0,2⁴
c) 6^-11   ...  7^-11

Zad. 6. (2 pkt) Która z liczb jest większa: 7¹⁴ czy 14⁷? Odpowiedź uzasadnij.

Zad. 7. (2 pkt) Zapisz wyrażenie w postaci potęgi. Oblicz jego wartość dla a=−0,3.
[(a²·a³)²:(a³:a)³]·[(a²)³:a³:a]·a^-2

Zad. 8. (3 pkt) W jednym gramie gleby można znaleźć nawet 40 milionów bakterii, a około milion w mililitrze wody słodkiej. Na Ziemi jest w przybliżeniu pięć kwintylionów (5·10³⁰) bakterii. Najmniejsze bakterie mogą mieć 0,0003 mm średnicy, a największe mają nie więcej niż 0,02 mm średnicy. Wirusy mają jeszcze mniejsze rozmiary. Zdecydowana większość z nich przedostaje się przez filtry mikrobiologiczne zatrzymujące bakterie. Największymi znanymi wirusami są: miniwirus mający 400 nanometrów średnicy (1 nm to 10^-9m) oraz Megavirus chilensis mający 0,0007 milimetra średnicy. Zapisz w notacji wykładniczej:
a) przybliżoną liczbę bakterii znajdującą się w 1 litrze słodkiej wody,
b) różnicę średnic największych i najmniejszych bakterii,
c) średnicę miniwirusa w milimetrach.

Zad. 9. (2 pkt) Najmniejszym ptakiem świata jest koliber hawańczyk. Jego długość nie przekracza 5 cm, a waga 2,8 g. Najcięższym latającym ptakiem jest łabędź niemy. Jego waga dochodzi do 23 kg, a długość do 155 cm.
a) Oblicz wartość A w wykładniku potęgi:
Koliber hawańczyk waży około 8,2·10^A razy mniej niż łabędź niemy.
b) Podaj brakującą liczbę w notacji wykładniczej:
Łabędź niemy ma długość około … razy większą niż koliber hawańczyk.

Zad.10. (2 pkt) Oblicz pole trapezu o podstawach długości √14 cm i √7 cm oraz wysokości dwa razy dłuższej od krótszej podstawy.

Zad. 11. (3 pkt) Objętość sześcianu wynosi 54 cm³. Oblicz długość krawędzi i pole powierzchni całkowitej tego sześcianu. Jaką objętość będzie miał sześcian o krawędzi dwa razy dłuższej?

grupa B

Zad. 1. (4 pkt) Dane są liczby:
a=−(4^-1·4²·4)^-1,
b=−(−3⁰)+(−1)⁰+4⁰−([tex]\frac{1}{4}[/tex])^-1,
c=[tex]\sqrt[3]{3\frac{3}{8}[/tex]−[tex]\sqrt{25}[/tex]+[tex]\sqrt{1:1\frac{9}{16}[/tex].

Oceń prawdziwość zdań (zaznacz: P - jeśli zdanie jest prawdziwe, F - jeśli jest fałszywe).
a) a <−c <−1,5b
b) a <−0,1
c) b < c < a
d) a < 0,1b < c

Zad. 2. (1 pkt ) Ania wykonała obliczenia:
I. [tex]\sqrt{121}-3\sqrt{49}+\sqrt{81}=-1[/tex]
II. [tex]\sqrt{169}+(-3)^3-(-3)^2-(-1)^3=-24[/tex]
III. [tex]\sqrt[3]{128:2}+\sqrt{121-100}=5[/tex]
IV. [tex]\sqrt{64}\cdot(\frac{1}{2})^3-\sqrt{25}:5-\sqrt[3]{125}=-5[/tex]
Gdzie popełniła błąd?
a) nigdzie    
b) tylko w III    
c) tylko w II i III    
d) tylko w III i IV

Zad. 3. (4 pkt) Przypisz każdemu z wyrażeń literę przyporządkowaną jego wartości.
a) 3³−([tex]\frac{1}{3}[/tex])^-3,
b) [(−1)⁰−2^-4]·([tex]\frac{1}{2}[/tex])^-5,
c) √27−√3,
d) 2√30·3√24,
A. 26[tex]\frac{26}{27}[/tex]     B. 0     C. √3     D. 32     E. 2√3
F. 72√5    G. 5     H. 30     I. 5√54     J. 6√54

Zad. 4. (4 pkt) Oceń prawdziwość zdań (zaznacz: P - jeśli zdanie jest prawdziwe, F - jeśli jest fałszywe). Wyrażenie (4^-1 − 2^-1)^-2 jest równe:
a)4²− 2²
b) [tex]\frac{1}{(4^{-1}-2^{-1})^{2}}[/tex]
c) 16
d) 4^-3− 2^-3

Zad. 5. (3 pkt) Wstaw znak nierówności lub równości.
a) [tex]\sqrt{3^{2}+4^{2}[/tex] ... √7
b) −0,3⁴ ... −0,3³
c) 5^-11   ...  5^-12

Zad. 6. (2 pkt) Która z liczb jest większa 20²¹ czy 4⁴²? Odpowiedź uzasadnij.

Zad. 7. (2 pkt) Zapisz wyrażenie w postaci potęgi. Oblicz jego wartość dla a=−0,3.

[(a³·a²)³:(a³:a)⁴]·[(a³)²:a⁴:a]·a^-3

Zad. 8. (3 pkt) W jednym gramie gleby można znaleźć nawet 40 milionów bakterii, a około milion w mililitrze wody słodkiej. Na Ziemi jest w przybliżeniu pięć kwintylionów (5·10³⁰) bakterii. Najmniejsze bakterie mogą mieć 0,0003 mm średnicy, a największe mają nie więcej niż 0,02 mm średnicy. Wirusy mają jeszcze mniejsze rozmiary. Zdecydowana większość z nich przedostaje się przez filtry mikrobiologiczne zatrzymujące bakterie. Największymi znanymi wirusem jest miniwirus mający 400 nanometrów średnicy (1 nm to 10^-9m) oraz Megavirus chilensis mający 0,0007 milimetra średnicy. Zapisz w notacji wykładniczej:
a) maksymalną liczbę bakterii znajdującą się w 1 kilogramie gleby,
b) średnicę Megavirus chilensis w nanometrach,
c) różnicę średnic największych wirusów.

Zad. 9. (2 pkt) Największym zwierzęciem w historii Ziemi jest ssak - płetwal błękitny. Osiąga do 33 metrów długości i wagę do 190 ton. Najmniejszym ssakiem jest ryjówka etruska, która średnio waży zaledwie 1,5 g, a jej długość bez ogona wynosi około 4 cm.
a) Oblicz wartość A w wykładniku potęgi:
Ryjówka etruska waży około 1,27·10^A razy mniej niż płetwal błękitny.
b) Podaj brakującą liczbę w notacji wykładniczej:
Płetwal błękitny ma długość około … razy większą niż ryjówka etruska.

Zad. 10. (2 pkt) Oblicz pole trapezu o podstawach długości √10 cm i √6 cm oraz wysokości trzy razy dłuższej od krótszej podstawy.

Zad. 11. (3 pkt) Objętość sześcianu wynosi 128 cm³. Oblicz długość krawędzi i pole powierzchni całkowitej tego sześcianu. Jaką objętość będzie miał sześcian o krawędzi dwa razy krótszej?

odpowiedzi

grupa A
1. a) P, b) F, c) P, d) F
2. d), I. 8, II. 18, III. -4,25, IV. 5√5+3
3. a) H, b) D, c) G, d) F
4. a) F, b) P, c) P, d) F
5. a) >, b) <, c) >
6. 7¹⁴ > 14⁷, przykładowe uzasadnienie: 7¹⁴ = 7⁷·7⁷ >  2⁷·7⁷ = 14⁷
7. a⁴,  0,0081
8. a) 10⁹, b) 1,97·10^-2 mm, c) 4·10^-4 mm
9. a) A=3, b) 3,1·10
10. (7√2+7) cm²
11. krawędź =[tex]3\sqrt[3]{2}[/tex], pole=[tex]54\sqrt[3]{4}[/tex], objętość=432 cm³

grupa B
1. a) P, b) F, c) P, d) F
2. c),  I. -1, II. -22, III. √21+4, IV. -5
3. a) B, b) H, c) E, d) F
4. a) F, b) P, c) P, d) F
5. a) >, b) >, c) >
6. 20²¹ > 4⁴², przykładowe uzasadnienie: 20²¹= 4²¹·5²¹ > 4²¹·4²¹ = 4⁴²
7. a⁵,  -0,00243
8. a) 4·10¹⁰, b) 7·10²nm, c) 3·10^-4 mm
9. a) A=8, b) 8,25·10²
10. (9+3√15) cm²
11. krawędź =[tex]4\sqrt[3]{2}[/tex], pole=[tex]96\sqrt[3]{4}[/tex], objętość=16 cm³

kryteria oceniania
1. a) - d) po 1 punkcie za odpowiedź
2. 1 punkt za odpowiedź
3. a) - d) po 1 punkcie za odpowiedź
4. a) - d) po 1 punkcie za odpowiedź
5. a)- c) po 1 punkcie za odpowiedź
6. 1 punkt za uzasadnienie, 1 punkt za odpowiedź
7. 1 punkt za wyrażenie w postaci potęgi, 1 punkt za wynik liczbowy
8. a) - c) po 1 punkcie za odpowiedź
9. a) - b) po 1 punkcie za odpowiedź
10. 1 pkt za podstawienie danych do wzoru na pole, 1 pkt za uproszczony wynik
11. 1 pkt za długość krawędzi, 1 pkt za pole powierzchni, 1 pkt za objętość większego/mniejszego sześcianu