Potęgi i pierwiastki* (kl. 2)

stopień trudności:

• trudniejszy przeznaczony dla klas z rozszerzonymi treściami z matematyki
• zadanie z (*) obowiązkowe na ocenę celującą
• grupy A i B mają ten sam stopień trudności

ocenianie:
21-22 - celujący
18-20 - bardzo dobry
15-17 - dobry
11-14 - dostateczny
8-10 - dopuszczający
0-7 - niedostateczny

czas pisania: 45 minut

typ sprawdzianu:

• sprawdzający wiadomości po zakończeniu działu tematycznego, uczeń powinien przedstawić pełny tok rozumowania i obliczenia 
• może być wykorzystany jako powtórzenie wiadomości z danego działu przed testem kompetencji

grupa A  (22 pkt)

Zad. 1. (4 pkt) Oblicz.

a) [tex]\left((\frac{3}{14})^{-3}\cdot 7^{-3}+27^{-1}\right)^{-1}[/tex]

b) [tex]\frac{(\sqrt{8}+\sqrt{50})\sqrt{2}}{(\sqrt{12}-\sqrt{27})\sqrt{3}}[/tex]  –  [tex]\sqrt[3]{\frac{120+\sqrt{64}}{\sqrt{49}-\sqrt{25}}[/tex]

Zad. 2. (2 pkt) Uprość wyrażenie, a następnie oblicz jego wartość dla x = –1[tex]\frac{1}{3}[/tex].

[tex]\frac{x^{100}\cdot x^{43}\cdot(x^3)^5 }{(x^5)^{24}\cdot(x^5)^2 \cdot x^{25}}[/tex]

Zad. 3. (2 pkt) Uporządkuj rosnąco liczby: 27⁴, 9⁷, 243², 81⁵, 9⁸, 3¹⁸.

Zad. 4. (2 pkt) Zapisz w postaci jednej potęgi.

[tex]\frac{81\cdot (-9)^4\cdot(-3)^3\cdot 27}{(-81)^3:3^3}[/tex]

Zad. 5. (1 pkt) Masa atomu złota wynosi 3,3·10^-25 kg, a atomu węgla 1,99·10^-26 kg . Jaką w sumie mają masę te dwa atomy? Wynik zapisz w notacji wykładniczej.

Zad. 6. (3 pkt) Podaj wartość 1101010₍₂₎ + 234₍₆₎ w czwórkowym systemie pozycyjnym.

Zad. 7. (3 pkt) Oblicz.

[tex]\sqrt{3+\sqrt{5}}[/tex] – [tex]\sqrt{3-\sqrt{5}}[/tex]

Zad. 8. (2 pkt) Która z liczb jest większa: [tex]\frac{1}{\sqrt{19}-3\sqrt{2}}[/tex]  czy  [tex]\sqrt{19}[/tex] + 3[tex]\sqrt{2}[/tex]? Odpowiedź potwierdź obliczeniami.

Zad. 9. (3 pkt) Podaj przykład dwóch liczb niewymiernych nieujemnych, dla których wymierna jest:
a) suma
b) iloczyn
c*) suma i iloczyn.

grupa B (22 pkt)

Zad. 1. (4 pkt) Oblicz.

a) [tex]\left((\frac{2}{3})^{-1}- 0,8^{-1}\cdot 10^{-1}\right)^{-2}[/tex]

b) [tex]\frac{\sqrt{4+\sqrt{25}}}{\sqrt{7-\sqrt{9}}}[/tex] + [tex]{\frac{\sqrt[3]{6+\sqrt{4}}}{(\sqrt[3]{2})^3 -(\sqrt[3]{3})^3}[/tex]

Zad. 2.(2 pkt) Uprość wyrażenie, a następnie oblicz jego wartość dla x =–1[tex]\frac{1}{2}[/tex].
[tex]\frac{(x^3)^4\cdot x^{120}\cdot(x^5)^3}{(x^2)^{50}\cdot(x^3)^8 \cdot x^{18}}[/tex] 

Zad. 3. (2 pkt) Uporządkuj rosnąco liczby: 64³ , 16⁴, 32², 8⁴, 4¹⁰, 2²⁵.

Zad. 4. (2 pkt) Zapisz w postaci jednej potęgi.

[tex]\frac{64\cdot (-8)^5\cdot(-4)^{12}}{(-64)^3:4^4}[/tex] 

Zad. 5. (1 pkt) Masa spoczynkowa elektronu wynosi około 9,1·10^-31 kg, a protonu około 1,7·10^-27 kg. Jaką w sumie mają masę elektron i proton? Wynik zapisz w notacji wykładniczej.

Zad. 6. (3 pkt) Podaj wartość 2410₍₅₎ + 2131₍₄₎ w trójkowym systemie pozycyjnym. 

Zad. 7. (2 pkt) Oblicz.
[tex]\sqrt{2+\sqrt{3}}[/tex] – [tex]\sqrt{2 -\sqrt{3}}[/tex]

Zad. 8. (2 pkt) Która z liczb jest większa: [tex]\frac{1}{\sqrt{13}-2\sqrt{3}}[/tex]  czy  [tex]\sqrt{13}[/tex] + 2[tex]\sqrt{3}[/tex]? Odpowiedź potwierdź obliczeniami.

Zad. 9. (3 pkt) Podaj przykład dwóch liczb niewymiernych ujemnych, dla których wymierna jest:
a) suma
b) iloczyn
c*) suma i iloczyn.

odpowiedzi
grupa A
1. a) 3 b) -8[tex]\frac{2}{3}[/tex]
2. x³, -2[tex]\frac{10}{27}[/tex]
3. 243², 27⁴, 9⁷, 9⁸, 3¹⁸, 81⁵
4. 3⁹
5. 3,499·10^-25 kg
6. 106₍₁₀₎+94₍₁₀₎=200₍₁₀₎=3020₍₄₎
7. √2
8. są równe
9. a) (2 - √2) i √2 b) √2 i √2 c) np. (2 - √2 )(2 +√2)

grupa B
1. a) 1[tex]\frac{57}{64}[/tex] b) 3,5
2. x⁵, -7[tex]\frac{19}{32}[/tex]
3.  32², 8⁴, 16⁴, 64³,4¹⁰, 2²⁵
4. 2³⁵
5. 1,70091·10^-27 kg
6. 355_⁽¹⁰⁾+157₍₁₀₎=512₍₁₀₎=200222₍₃₎
7. √2
8. są równe
9. a) (√2 - 2) i -√2 b) -√2 i -√2 c) np. (-2 - √2 )(-2 +√2)

kryteria oceniania
1. a) - b) po 2 punkty za poprawny wynik, (-1 pkt) za błąd rachunkowy
2. 1 pkt za uproszczone wyrażenie, 1 pkt za wynik
3. 1 pkt za sprowadzenie potęg do wspólnej podstawy, 1 pkt za uporządkowanie
4. 2 pkt za poprawne przekształcenia i wynik , (-1 pkt) za błąd rachunkowy
5. 1 pkt za poprawny wynik
6. po 1 punkcie za każdy składnik sumy w dziesiątkowym systemie pozycyjnym, 1 pkt za wynik - gr. A w czwórkowym, gr. B. trójkowym systemie
7. 1 pkt za podniesienie wyrażenia do kwadratu z zauważeniem, że wyrażenie jest dodatnie, 1 pkt za redukcje otrzymanego wyrażenia, 1 pkt za interpretację wyniku
8. 1 pkt za usunięcie niewymierności z mianownika pierwszej liczby, 1 pkt za przekształcenia i odpowiedź
9. a) - c) po 1 punkcie za przykład