Równania, układy równań

stopień trudności: średnio trudny
czas pisania: 45 minut
przeznaczenie: zestaw może być wykorzystany na sprawdzianie, do pracy na lekcji (np. w parach) lub jako zadanie domowe
ocenianie:
25 - 30 - bardzo dobry
20 - 24 - dobry
15 - 19 - dostateczny
10 - 14 - dopuszczający
0 - 9 - niedostateczny

grupa A

W zadaniach 1-3 wybierz poprawną odpowiedź.

Zad. 1. (1 pkt) Pan Kazimierz chce ogrodzić swoją działkę. Ma ona kształt prostokąta, którego dłuższy bok jest o 4 m dłuższy od podwojonej długości krótszego boku. Pan Kazimierz wyliczył, że jeśli pozostawi 6 m na bramę i furtkę, to na ogrodzenie działki potrzebne mu będą 62 m siatki. Działka pana Kazimierza ma powierzchnię:
A. 198 m²   B. 240 m²   C. 68 m²   D. 280 m²

Zad. 2. (1 pkt) W pewnym trójkącie jeden z kątów wewnętrznych jest o 30° większy od drugiego i 3 razy większy od trzeciego kąta. Jeśli przez α oznaczymy miarę pierwszego kąta, to zachodzi:
A. α+α+30°+3α = 180°   B. α-30°+[tex]\frac{1}{3}[/tex]α = 180°   C. α+30°+[tex]\frac{1}{3}[/tex]α = 180°
D. α+ α-30°+[tex]\frac{1}{3}[/tex]α = 180°

Zad. 3. (1 pkt) Adam zbiera plakaty z samochodami i piłkarzami. Miał 55 plakatów, w tym s z samochodami i p z piłkarzami. Gdy oddał koledze 4 plakaty z piłkarzami w zamian za najnowszy plakat z samochodem, okazało się, że plakatów z samochodami ma trzy razy więcej niż z piłkarzami. Opisuje to układ równań:

A. [tex] \left\{\begin{array}{rcl}s+p&=&55\\3(p-4)&=&s+1\end{array}\right.[/tex]   B. [tex] \left\{\begin{array}{rcl}s+p&=&55\\p-4&=&3(s+1)\end{array}\right.[/tex]   C. [tex] \left\{\begin{array}{rcl}s+p&=&55\\p-4&=&3s-1\end{array}\right.[/tex]
D. [tex] \left\{\begin{array}{rcl}s+p&=&55\\3p-4&=&s-1\end{array}\right.[/tex]

W zadaniu 4 uzupełnij luki na podstawie danego układu równań.

Zad. 4. (3 pkt)  [tex] \left\{\begin{array}{rcl}8,7x+4,7y&=&11360\\x&=&1,5y\end{array}\right.[/tex], gdzie x – cena tony pszenicy,  y – cena tony żyta. Rolnik sprzedał ... ton pszenicy i ... ton żyta. Cena tony pszenicy była ... razy ... niż tony żyta. Za sprzedane żyto rolnik dostał ... zł, a za pszenicę ... zł. W sumie zarobił ... zł.

W zadaniu 5 uzupełnij zdania, wybierając odpowiedzi spośród podanych.

Zad. 5. (2 pkt) Zegarek z paskiem kosztuje 125 zł. Adam otrzymał 10% zniżkę na pasek i 15% na zegarek. W sumie zapłacił 107,5 zł. Za pasek zapłacił o … zł mniej niż wynosiła jego cena detaliczna, a za zegarek zapłacił … zł.
A. 2,5   B. 100   C.22,5   D. 85   E. 7,50   F. 25   G. 15

W zadaniach 6-8 oceń prawdziwość odpowiedzi, oznaczając przez P - zdania prawdziwe, a przez F - fałszywe.

Zad. 6. (4 pkt). Poniższe zdania odpowiadają zapisanym obok równaniom.
A. Pewna liczba czterokrotnie powiększona wynosi 8. x+4x = 8
B. Pewna liczba jest 3 razy mniejsza od 36. 3x = 36
C. Jedna trzecia pewnej liczby jest o 8 mniejsza niż jej kwadrat. [tex]\frac{1}{3}[/tex]x–8 = x²
D. Suma pewnej liczby i jej sześcianu jest dwa razy większa niż ta liczba powiększona o 5.
x+[tex]\frac{1}{2}[/tex]x³ = x+5

Zad. 7. (3 pkt) Małgosia buduje szkieletowe modele sześcianów i czworościanów. Używa do tego patyczków (jako krawędzi) oraz kulek z plasteliny (jako wierzchołków). Ma przygotowane 42 patyczki.
A. Z przygotowanych patyczków Małgosia może zbudować najwyżej 3 sześciany.
B. Żeby obliczyć, ile sześcianów i ile czworościanów może zbudować, wykorzystując wszystkie patyczki, aby otrzymać 5 brył, Małgosia powinna rozwiązać następujący układ równań:
[tex] \left\{\begin{array}{rcl}s+p&=&55\\3(p-4)&=&s+1\end{array}\right.[/tex], gdzie p – liczba czworościanów, s – liczba sześcianów
C. Aby przygotować 5 modeli, wykorzystując wszystkie patyczki, Małgosia powinna zbudować 3 sześciany i 2 czworościany.

Zad. 8. (3 pkt) Szkło składa się z potażu, piasku i kredy w stosunku 5 : 15,5 : 1.
A. 860 kg szkła zawiera 200 kg potażu, 620 kg piasku, 40 kg kredy.
B. Na każdy kilogram kredy w szkle przypada 5 kg potażu.
C. Szkło zawiera 15,5 % piasku.

W zadaniach 9-11 ułóż odpowiednie równania lub układy równań, aby odpowiedzieć na pytania.

Zad. 9. (4 pkt) W zbiorze graniastosłupów i ostrosłupów wszystkie podstawy są sześciokątami. Bryły mają w sumie 72 ściany boczne, a łączna liczba podstaw jest 10 razy mniejsza niż powiększona o 4 liczba wszystkich krawędzi. Ile poszczególnych brył znajduje się w tym zbiorze?

Zad. 10. (4 pkt) Księgarnia internetowa prowadzi wysyłkową sprzedaż książek. Wiadomo, że:

• płacąc za przesyłkę pocztową przy odbiorze trzeba zapłacić o 3 zł więcej niż płacąc wcześniej przelewem bankowym, a jeśli dostawa jest realizowana przez kuriera, to o 4 zł więcej,
• jeśli płacimy przelewem, to za wysłanie jednej książki kurierem opłata jest taka sama, jak za wysłanie jej pocztą,
• wysyłka kurierem kosztuje tyle samo, niezależnie od liczby zamawianych książek,
• przy wysyłce pocztą za każdą dodatkową książkę dopłacamy 4 zł.

Uzupełnij tabelę z cennikiem opłat za przesyłkę, wiedząc, że:

• przy płatności przelewem wysłanie pocztą czterech książek o wartości do 50 zł jest o 1,00 zł droższe niż zamówienie trzech takich przesyłek kurierem,
• płacąc przy odbiorze, wysłanie pocztą paczki z dwoma książkami o wartości powyżej 50 zł jest o 3 zł droższe niż przy zapłacie przelewem za wysłanie kurierem dwóch takich paczek.

Zad. 11. (4 pkt) Oblicz obwód równoległoboku ABCD.

grupa B

W zadaniach 1-3 wybierz poprawną odpowiedź.

Zad.1. (1 pkt) Pani Emilia ogrodziła swoją działkę. Ma ona kształt prostokąta, którego krótszy bok jest o 4 m krótszy od połowy dłuższego boku. Pani Emilia obliczyła, że jeśli pozostawi 3 m na bramę wjazdową, to na ogrodzenie potrzebne jej będzie 109 m siatki. Działka pani Emilii ma powierzchnię:
A. 916,5 m²   B. 640 m²   C. 112 m²   D. 462[tex]\frac{7}{9}[/tex]m²

Zad. 2. (1 pkt) W pewnym trójkącie jeden z kątów wewnętrznych jest 2 razy większy od drugiego i o 20° większy od trzeciego kąta. Jeśli przez α oznaczymy miarę pierwszego kąta, to zachodzi:
A. α+α+20^°+2α = 180°   B. α-20°+2α = 180°   C. α+α+20°+0,5α = 180°
D. α+α-20°+0,5α = 180^°

Zad. 3. (1 pkt) Ania zbiera pocztówki z kotami i psami. Miała 43 pocztówki, w tym k pocztówek z kotami i p pocztówek z psami. Gdy oddała siostrze pocztówkę z kotem w zamian za 3 pocztówki z psami, okazało się, że pocztówek z kotami ma 2 razy mniej niż pocztówek z psami. Opisuje to układ równań:
A. [tex] \left\{\begin{array}{rcl}k+p&=&43\\2(k-1)4&=&p+3\end{array}\right.[/tex]   B.[tex]\left\{\begin{array}{rcl}k+p&=&43\\k-1&=&2(p+3)\end{array}\right.[/tex]   C. [tex] \left\{\begin{array}{rcl}k+p&=&43\\k-1&=&2p+3\end{array}\right.[/tex]
D. [tex] \left\{\begin{array}{rcl}k+p&=&43\\2k-14&=&p+3\end{array}\right.[/tex]

W zadaniu 4 uzupełnij luki na podstawie danego układu równań.

Zad. 4. (3 pkt) [tex] \left\{\begin{array}{rcl}1,2x+0,73y&=&4014\\x&=&1,25y\end{array}\right.[/tex], gdzie x – cena tony pszenicy, y – cena tony jęczmienia. Rolnik kupił ... ton pszenicy i ... ton jęczmienia do siewu. Cena tony pszenicy była ... razy ... niż tony jęczmienia. Za kupioną pszenicę rolnik zapłacił ... zł, za jęczmień ... zł. W sumie wydał ... zł.

W zadaniu 5 uzupełnij zdania, wybierając odpowiedzi spośród podanych.

Zad. 5. (2 pkt) Kolczyki z broszką kosztują 130 zł. Ania otrzymała 10% zniżki na kolczyki i 15% na broszkę. W sumie zapłaciła 115 zł. Za kolczyki zapłaciła o ... zł mniej niż wynosiła jej cena detaliczna, a za broszkę zapłaciła ... zł.
A. 90   B. 40   C. 81   D. 34   E. 9   F. 6   G. 15

W zadaniach 6-8 oceń prawdziwość odpowiedzi, oznaczając przez P - zdania prawdziwe, a przez F - fałszywe.

Zad. 6. (4 pkt) Poniższe zdania odpowiadają zapisanym obok równaniom.
A. Pewna liczba zmniejszona trzykrotnie wynosi 16. x-3x = 16
B. Pewna liczba jest 5 razy większa od 28. [tex]\frac{1}{5}[/tex]x = 28
C. Połowa pewnej liczby jest o 7 większa niż jej sześcian. 0,5x+7 = x³
D. Różnica sześcianu pewnej liczby i tej liczby jest o 2 mniejsza niż ta liczba powiększona trzykrotnie. x³–x = 3x–2

Zad. 7. (3 pkt) Alicja buduje szkieletowe modele sześcianów i czworościanów. Używa do tego patyczków (jako krawędzi) oraz kulek z plasteliny (jako wierzchołków). Ma przygotowane 44 kulki z plasteliny.
A. Z przygotowanych kulek Alicja może zbudować więcej niż 5 sześcianów.
B. Żeby obliczyć, ile sześcianów i ile czworościanów może zbudować, wykorzystując wszystkie kulki, aby otrzymać 7 modeli, Alicja powinna rozwiązać następujący układ równań: 
[tex] \left\{\begin{array}{rcl}c+s&=&7\\8c+4s&=&44\end{array}\right.[/tex], gdzie c – liczba czworościanów, s – liczba sześcianów
C. Aby przygotować 7 modeli, wykorzystując wszystkie kulki, Alicja powinna zbudować 3 czworościany i 4 sześciany.

Zad. 8. (3 pkt) Beton składa się z cementu, piasku i żwiru w stosunku 1 : 2,5 : 1,6.
A. 204 kg betonu zawierają 40 kg cementu, 100 kg piasku i 64 kg żwiru.
B. Na każdy kilogram cementu w betonie przypada 1,6 kg piasku.
C. Beton zawiera około 49% piasku.

W zadaniach 9-11 ułóż odpowiednie równania lub układy równań, aby odpowiedzieć na pytania.

Zad. 9. (4 pkt) W zbiorze graniastosłupów i ostrosłupów wszystkie podstawy są pięciokątami. Bryły mają w sumie 55 ścian bocznych, a łączna liczba podstaw zmniejszona o 2 jest 10 razy mniejsza niż liczba wszystkich krawędzi. Ile poszczególnych brył znajduje się w tym zbiorze?

Zad. 10. (4 pkt) Księgarnia internetowa prowadzi wysyłkową sprzedaż książek. Wiadomo, że:

• płacąc za przesyłkę pocztową przy odbiorze trzeba zapłacić o 4 zł więcej, niż płacąc wcześniej przelewem bankowym, a jeśli dostawa jest realizowana przez kuriera, to o 5 zł więcej,
• jeśli płacimy przelewem, to za wysłanie jednej książki kurierem opłata jest taka sama, jak za wysłanie jej pocztą,
• wysyłka kurierem kosztuje tyle samo, niezależnie od liczby zamawianych książek,
• przy wysyłce pocztą za każdą dodatkową książkę dopłacamy 3,50 zł.

Uzupełnij tabelkę z cennikiem opłat za przesyłkę, wiedząc, że:

• przy płatności przelewem wysłanie pocztą trzech książek o wartości do 50 zł jest o 0,50 zł droższe niż zamówienie dwóch takich przesyłek kurierem,
• płacąc przy odbiorze, wysłanie pocztą paczki z czterema książkami o wartości powyżej 50 zł jest dwa razy droższe niż wysłanie ich kurierem.

 Zad. 11. (4 pkt) Oblicz obwód równoległoboku ABCD.

odpowiedzi

grupa A
1. B, 2. D, 3. A, 4. 8,7 t, 4,7 t, 1,5 razy wyższa, 3008 zł, 8352 zł, 11360 zł, 5. A, D, 6. A. F, B. P, C. F, D. F, 7. A. P, B. F, C. F, 8. A. P, B. P, C. F, 9. 7 graniastosłupów i 5 ostrosłupów 10.

11. x=4,5, y=8, obwód=28

grupa B

1. B, 2. D, 3. A, 4. 1,2 t, 0,730 t, 1,25 razy wyższa, 2700 zł, za 1314 zł, 4014 zł, 5. E, D, 6. A. F, B. P, C. F, D. P, 7. A. F, B. F, C. P, 8. A. P, B. F, C. P, 9. 4 graniastosłupy i 7 ostrosłupów 10.

11. x=3,5, y=5, obwód=18

kryteria oceniania

1.-3. 1 pkt za odpowiedź
4. po 0,5 pkt za każdą lukę
5. po 1 punkcie za każdą lukę
6.-8. po 1 punkcie za każdą odpowiedź
9. 2 punkty za układ równań, 1 pkt za rozwiązanie, 1 pkt za odpowiedź
10. po 1 punkcie za równania, po 1 punkcie za każda kolumnę w tabelce
11. 1 pkt za układ równań, 1 pkt wyliczenie x, 1 pkt za wyliczenie y, 1 pkt za odpowiedź