Układy równań* (kl. 2)

stopień trudności:

• wysoki
• zadanie z (*) jest obowiązkowe na ocenę celującą
• grupy A i B mają ten sam poziom

ocenianie:
19 - 20 - celujący
16-18 - bardzo dobry
13-15 - dobry
10-12 - dostateczny
6-9 - dopuszczający
0-5 - niedostateczny

czas pisania: 45 minut

typ sprawdzianu:

• sprawdzający wiadomości po zakończeniu działu tematycznego, zadania traktujemy jako otwarte, a uczeń powinien przedstawić pełny tok rozumowania i rachunki
• może być wykorzystany jako powtórzenie wiadomości z danego działu przed testem kompetencji

grupa A (20 pkt)

Zad. 1. (4 pkt) Za dziesięć lat ojciec z synem będą mieli razem 100 lat. Przed 10 laty syn był cztery razy młodszy od ojca. Ile lat ma obecnie każdy z nich?

Zad. 2. (4 pkt) Rozwiąż układ równań.
[tex] \left\{\begin{array}{rcl}x(x-y)+1,5x(x-y)+y&=&2,5x(x-y)+3\\0,5(x+1)-0,5(x-1)^2+y&=&5-0,5x(x+1)\end{array}\right.[/tex]

Zad. 3. (4 pkt) W naczyniu znajduje się 10 kg czterdziestoprocentowego roztworu kwasu siarkowego. Gdybyśmy odlali pewną ilość roztworu, a następnie do pozostałej części dolali pewną ilość dwudziestoprocentowego roztworu kwasu siarkowego, to otrzymalibyśmy 6 kg roztworu trzydziestoprocentowego. Ile kilogramów roztworu musielibyśmy odlać, a ile dolać?

Zad. 4. (4 pkt) Dany jest układ równań.
[tex]
\left\{\begin{array}{rcl}2x-y&=&k\\x+y&=&2k+3\end{array}\right.[/tex]
a) Wyznacz z układu równań  x i y za pomocą k.
b) Dla jakich k rozwiązaniem układu jest para liczb nieujemnych?

Zad. 5. (4 pkt) Droga z A do B wiedzie przez wysoką górę. Pewien rowerzysta przejechał tę trasę w ciągu 1 h 54 min. Z powrotem jechał o 18 minut krócej. Oblicz, jaka długa jest ta droga, wiedząc, że w dół rowerzysta jechał z prędkością 25 km/h, a w górę z prędkością 10 km/h.

grupa B (20 pkt)

Zad. 1. (4 pkt) Dwa lata temu Jacek był dwa razy starszy od Piotrka. Za dwa lata będą mieli razem 26 lat. Ile lat ma każdy z nich?

Zad. 2. (4 pkt) . Rozwiąż układ równań.
[tex] \left\{\begin{array}{rcl}0,5x(x+3)-0,5x +y&=&1+0,5x^2\\(x-3y)^2-x^2&=&3y(3y-1)+3-6x(y+1)\end{array}\right.[/tex]

Zad. 3. (4 pkt) W naczyniu znajduje się 10 kg dziesięcioprocentowej solanki. Gdybyśmy odlali pewną ilość tej solanki, a następnie do pozostałej części dolali pewną ilość sześcioprocentowej solanki, to otrzymalibyśmy 6 kg solanki ośmioprocentowej. Ile kilogramów solanki musielibyśmy odlać, a ile dolać?

Zad. 4. (4 pkt) Dany jest układ równań.
[tex] \left\{\begin{array}{rcl}x-y&=&k\\2x+y&=&5k+3\end{array}\right.[/tex]

a) Wyznacz z układu równań  x i y za pomocą k.
b) Dla jakich k rozwiązaniem układu jest para liczb ujemnych?

Zad. 5. (4 pkt) Z miejscowości A i B wyruszyli naprzeciw siebie dwaj podróżni, maszerujący z różną średnią prędkością. Po spotkaniu jeden z nich musiał jeszcze maszerować do celu 16 godzin, a drugi 9. Ile czasu potrzeba każdemu z nich na przebycie całej drogi?

odpowiedzi:
grupa A
1. wiek ojca - 58 lat, wiek syna – 22 lata,  2. x=1, y=3,  3. masa odlanego roztworu – 7 kg, masa dolanego – 3 kg, 4. a) x=k, y=k+1, b) k≥-1, 5. 25 km
grupa B
1. wiek Jacka - 14 lat; wiek Piotrka – 8 lat,  2. x=0, y=1, 3. masa odlanego roztworu – 7 kg; masa dolanego – 3 kg, 4. a) x=2k+1, y=k+1, b) k<-1, 5. I - 28 h, II - 21 h

kryteria oceniania
1. po 1 punkcie za każde równanie, 1 pkt za rozwiązanie układu, 1 pkt za odpowiedź
2. 1 pkt za uproszczenie układu do postaci układu równań pierwszego stopnia, 1 pkt za wyliczenie x, 1 pkt za wyliczenie y, 1 pkt za wynik
3. po 1 punkcie za każde równanie, 1 pkt za rozwiązanie układu, 1 pkt za odpowiedź
4. po 1 punkcie za wyliczenie x i y, 1 pkt za nierówności: k+1≥0, k+2≥0, 1 pkt za odpowiedź
5. 2 pkt. za układ równań, 1 pkt za rozwiązanie układu równań, 1 pkt za odpowiedź