Do boju z geometrią 3D

Geometria przestrzenna nie jest tym, co tygrysy lubią najbardziej. Mimo to możecie się przekonać, że nie zawsze taki diabeł straszny, jak go malują. Poniżej proponujemy miły i przyjemny wybór zadań z geometrii przestrzennej. Do ich rozwiązania wystarczy odrobina zdrowego rozsądku, wyobraźni oraz standardowa szkolna wiedza o właściwościach metrycznych prostopadłościanów i ostrosłupów. Stopień trudności rośnie wraz z numerem zadania w zestawie. Początkowe mogą rozwiązać nawet uczniowie z podstawówki. Końcowe wymagają wiedzy licealnej. Zacznij od początku i sprawdź, jak daleko zabrniesz...

Zadania nawet dla SP

1. Na rysunku przedstawione są widoki odpowiednio z lewej strony i od przodu budowli wykonanej z sześciennych klocków. Ile co najmniej i ile co najwyżej klocków użyto do wykonania tej budowli, jeżeli każdy klocek albo stoi na podłożu, albo na innym klocku?

2. Wszystkie trzy rysunki przedstawiają tę samą „piramidę” zbudowaną z klocków sześciennych, oglądaną z trzech stron: z przodu, z góry i z lewej strony. Z ilu klocków zbudowana jest ta piramida?

3. Michał ma 42 identyczne sześcienne klocki, każdy o krawędzi długości 1 cm. Ze wszystkich tych klocków zbudował prostopadłościan, którego obwód podstawy jest równy 18 cm. Jaka jest wysokość tego prostopadłościanu?

4. Jan zbudował prostopadłościan z jednakowych sześciennych klocków. Jego siostra zdemontowała najwyższą warstwę zbudowaną z 77 klocków. Następnie jego starszy brat zdemontował warstwę z boku zawierającą 55 klocków. Na koniec jego najmłodszy brat zdemontował warstwę z przodu. Ile klocków pozostało w tak pomniejszonym prostopadłościanie?

5. Sześcian przecięto płaszczyzną. Ślad tego przekroju zaznaczono na siatce sześcianu (linia przerywana). Jaką figurą jest ten przekrój?

6. Powierzchnię sześcianu o krawędzi długości 10 pomalowano na zielono a następnie rozcięto go na sześcianiki o krawędzi długości 1. Ile otrzymano sześcianików z pomalowaną daną liczbą ścianek: a) zero, b) jeden, c) dwa, d) trzy, e) cztery, f) pięć, g) sześć?

7. Pewien graniastosłup ma dwa razy więcej wierzchołków niż pewien ostrosłup. Który z tych wielościanów ma więcej ścian i o ile?

Zadania raczej dla GIM

8. Przekątna prostopadłościanu ma długość 35, a jego krawędzie są w stosunku 2:3:6. Oblicz objętość tego prostopadłościanu.

9. W prostopadłościanie nieprzystające ściany mają powierzchnie S₁ , S₂ i S₃. Oblicz objętość tego prostopadłościanu.

10. Podstawą graniastosłupa prostego jest romb. Pola przekrojów tego graniastosłupa zawierających różne przekątne rombu są równe S₁ i S₂. Oblicz pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa.

11. Dany jest prostopadłościan o podstawie kwadratowej. Jego przekątna ma długość d, a jego pole powierzchni jest równe b. Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi tego prostopadłościanu.

12. W prostopadłościanie o podstawie kwadratowej wysokość jest dwa razy większa od krawędzi podstawy. Pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu jest równe polu powierzchni całkowitej sześcianu o krawędzi 5 cm. Oblicz objętość tego prostopadłościanu.

13. Z sześcianu o krawędzi a odcięto 8 naroży, tnąc w połowie krawędzi. Oblicz objętość i pole powierzchni powstałej bryły. Co to za bryła?

14. Objętość stożka jest równa V. Jego wysokość dzielimy na trzy równe części, a przez punkty podziału prowadzimy płaszczyzny równoległe do podstawy. Oblicz objętości powstałych w ten sposób dwóch stożków.

15. Oblicz wysokość walca, którego pole powierzchni bocznej jest trzy razy większe od pola podstaw.

16. Pole powierzchni podstawy walca jest równe S₁, a pole jego przekroju osiowego jest równe S₂. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego walca.

17. Na graniastosłupie prawidłowym trójkątnym opisano walec, a następnie w ten graniastosłup wpisano drugi walec. Oblicz stosunek objętości obu walców.

Zadania dla odważnych

18. Z ośmiościanu foremnego o krawędzi długości a odcięto naroża tak, że wszystkie krawędzie otrzymanej bryły mają jednakową długość, a jej ściany są wielokątami foremnymi. Oblicz objętość tej bryły. Co to za bryła?

19. Siatkę ostrosłupa tworzą dwa przystające trójkąty prostokątne o przyprostokątnej długości 8 cm i dwa trójkąty równoboczne. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

20. Z sześcianu o krawędzi długości a odcięto naroża tak, że wszystkie krawędzie otrzymanej bryły mają jednakową długość, a jej ściany są wielokątami foremnymi. Oblicz objętość tej bryły. Co to za bryła?

Literatura

Zbigniew Bobiński, Piotr Nodzyński, Mirosław Uscki, Koło matematyczne w gimnazjum

Odpowiedzi

1. najmniej 8, najwięcej 16.
2. 12
3. 3 cm
4. 300
5. trójkąt równoboczny
6. a) 512, b) 384, c) 96, d) 8, e) 0, f) 0, g) 0
7. graniastosłup o 2
8. 4500

9. [tex] \sqrt{S_1S_2S_3} [/tex]

10. [tex] 2 \sqrt{{S_1}^2+{S_2}^2} [/tex]

11. [tex] 4 \sqrt{d^2+b} [/tex]

12. 30√15

13. objętość [tex] \frac{2}{3} [/tex]a³, pole powierzchni (3+√3)a²

14. [tex] \frac{1}{27} [/tex]V i [tex] \frac{8}{27} [/tex]V

15.
16. πS₂+2S₁
17. 4:1

18. [tex] \frac{8 \sqrt{2}}{27} [/tex]a³

19. [tex] \frac{128 \sqrt{2}}{3} [/tex]

20. [tex] \frac{7}{3} [/tex](√2-1)a³