Modele z baz kwadrat i trójkąt

Patrząc na model ośmiościanu wykonany powyższą metodą, od razu nasuwa się pytanie o wielkość kostki sześciennej, która wypełniłaby powstałą dziurę. Dokładniej chodzi o stosunek długości krawędzi owego sześcianu do długości krawędzi danego ośmiościanu.
Warto również wspomnieć, iż w takim modelu ośmiościanu foremnego można się dopatrzeć faktu, że sześcian i ośmiościan foremny są bryłami dualnymi.
Na zdjęciu sześcian wykonany jest w technice sonobe.

Redakcja portalu ufundowała nagrodę-niespodziankę dla osoby, która pierwsza poda odpowiedź na postawione wyżej pytanie. Nagrodę otrzymuje też autor pytania - student matematyki Grzegorz Słaboń.

Czyżby szukany stosunek był równy √2-1?

To prawidłowa odpowiedź. Sebuś otrzymuje nagrodę-niespodziankę.

A próbował ktoś wywracać na lewą stronę? Czy każdy z powyższych modeli się da? Co uzyskamy po takim przekształceniu modeli ze zdjęć powyżej (tych, które się da)?
Warto najpierw powywracać na lewą stronę we własnej wyobraźni, a później próbować w realu. Może przydać się klej. Pewnie zaburzy to zasady origami, ale nie odbierze frajdy ze składania.

Jeszcze jedno zadanie. Przy odpowiednich rozmiarach wyjściowych trójkątów i kwadratów można uzyskać moduły, które będą pasowały do siebie nawzajem. Dzięki temu będzie możliwe zbudowanie bryły, w której jednych wierzchołkach stykają się trzy, a w innych - cztery krawędzie. Przykładem takiego wielościanu jest dwunastościan rombowy. Nasuwa się pytanie: jaki powinien być stosunek długości krawędzi wyjściowego trójkąta i kwadratu, by moduły (wykonane zgodnie z przedstawionym w tekście opisem) pasowały do siebie nawzajem.

Tradycyjnie redakcja Portalu funduje nagrodę-niespodziankę, za pierwszą poprawną odpowiedź na postawione wyżej pytanie. Nagrodę otrzymuje też Piotr - autor pytania - nauczyciel matematyki.

Czy ten stosunek wynosi może [tex]3(\sqrt{2}-1)[/tex]?

Niestety ta odpowiedź nie jest właściwa.
Podpowiedź: 1/3 wysokości trójkątnej kartki ma być równa połowie boku kwadratowej, kolejny krok to przedstawienie długości boku trójkąta za pomocą długości boku kwadratowej kartki i już mamy szukany stosunek... Powodzenia!

Jeżeli podążymy za podpowiedzią wyżej, to stykające się krawędzie wierzchnich karteczek z modułów trójkątnego i kwadratowego (gdy oczywiście te moduły połączymy) będą różnej długości. Wtedy te moduły chyba nie będą za bardzo pasowały? Wydaje mi się ponadto, że nieważne jak długie będą "rogi", które wkładamy do środka przy łączeniu modułów (bo chyba na tym opierał się pomysłm podanej wskazówki). Dalej pozostaję przy mojej wcześniej udzielonej odpowiedzi. Chyba, że źle rozumiem to pytanie.

Uważam, że podana odpowiedź na moje pytanie jest poprawna, a wskazówka Sylwii prowadzi na manowce. Może niezbyt precyzyjne było sformułowanie
problemu. "Pasuje" oznacza wg mnie, że po włożeniu jednego modułu w drugi nic nie będzie odstawać. Sprowadza się to do tego, że bok sześciokąta, który powstaje po nałożeniu jednego trójkąta na drugi musi mieć tę samą długość, co bok ośmiokąta, który powstaje po nałożeniu jednego kwadratu na drugi, czyli gdy bok trójkąta jest równy a, a kwadratu b, to
¹/₃ a = b(√2-1).

Pojęcie "pasowania" modułów do siebie jest mylące. Ja rozumiem to tak, że wielkość obu modułów jest identyczna, a wtedy stosunek boków trójkąta i kwadratu jest równy √3. Natomiast jeśli "kieszonki", do których wsuwamy moduły, mają mieć taką samą wielkość (a o to chodziło Piotrowi), to faktycznie odpowiedź 3(√2 -1) jest OK.
W pytaniu Piotra jest też haczyk (o którym wspomina Anonimowy), bo końcówki modułu trójkątnego będą wtedy za długie, aby wsunąć je do modułu kwadratowego, tzn. kieszonki będą odpowiedniej wielkości, ale cały moduł będzie za duży, aby go umieścić w drugim ;)

Nic nie jest za długie. Wszystko ładnie pasuje. Można się o tym przekonać, wykonując dwa moduły i łącząc je, albo przeprowadzając odpowiednie rachunki. Długość końcówki modułu trójkątnego to 1/3 wysokości trójkąta o boku a, czyli ok. 0,28a. Natomiast głębokość kieszonki to ok. 0,4a.

Jasne że pasuje! Dziękuję Piotrowi za czujność i sprawdzenie moich rachunków... Co te ferie robią człowiekowi z intelektem... Pozdrawiam serdecznie!

Ostatecznie uznajemy odpowiedz Anonimowego - studenta matematyki - i nagrodę-niespodziankę przyznajemy. Zachęcamy też do stawiania dalszych ciekawych pytań.

Spróbujmy zatem uogólnić postawiony wcześniej problem. Rozważmy dwa moduły Simona złożone z karteczek w kształcie n-kąta foremnego i m-kąta foremnego (n≠m). Jaki musi być stosunek długości boków karteczki n-kątnej do m-kątnej, aby moduły z nich zbudowane pasowały do siebie  nawzajem (w rozumieniu Piotra)?

Rzecz jasna, redakcja WPM tradycyjnie ufunduje ciekawą nagrodę za poprawną odpowiedź.

Szukany stosunek boków w pytaniu Anonimowego to
tgα·tg^β/₂ ÷ tgβ·tg^α/₂, gdzie α=^π/_n i β=^π/_m?

Też mi tak wyszło.

Istnieją pewne ograniczenia w możliwości wykorzystania tego typu modułów, np. z modułów o czterech ramionach nie da się wykonać dwudziesto-dwunastościanu, mimo że w jego wierzchołkach schodzą się po 4 krawędzie. Podobnie z modułów trójkątnych nie da się zbudować czworościanu foremnego, choć w jego wierzchołkach spotykają się 3 krawędzie. Pytanie szczególne: dlaczego tak jest? Pytanie ogólne: jakie są ograniczenia dla tego typu modułów i skąd się one biorą?

Moduły mają za duże kąty, np. ten trójkątny ma kąty na tyle duże, że nie da się go "wcisnąć" w narożnik czworościanu, którego kąty (bryłowe) są stosunkowo małe. Nie umiem tego dokładnie wyliczyć, ale na pewno na tym to polega.

Po niewielkiej modyfikacji modułu na bazie trójkąta da się ominąć pewne ograniczenia i zbudować model czworościanu foremnego. Wystarczy zrobić dodatkowe zakładki między rogami modułów. Wtedy na ścianach czworościanu zaznaczone zostaną promienie okręgów opisanych na tych ścianach.