czerwiec 2010

czerwiec 2010

Data ostatniej modyfikacji:
2018-09-17

Zad. 1. Specjalnie dla kibiców MŚwPN 2010: ile przekątnych ma "piłka nożna", czyli dwudziestościan ścięty, którego model przedstawiamy na zdjęciu obok? (Kliknij na zdjęcie, aby je powiększyć).

Zad. 2. Czy istnieją różne liczby naturalne x₁, x₂, ..., x₁₀₀, takie że NWD ich wszystkich wynosi 1, ale NWD żadnych dwóch z nich nie jest jedynką? Udowodnij!

Zad. 3. W trapezie o podstawach a i b poprowadzono przez punkt przecięcia przekątnych odcinek równoległy do podstaw i łączący ramiona. Oblicz jego długość.

Wyniki:

Za zadania czerwcowe maksymalną liczbę 3 pkt uzyskali: Daniel Danielski, Antoni Machowski, Karol Sala i Adrian Słodziński.

W Lidze Gimnazjalnej 2009/2010 po zaciętej walce najlepiej wypadli (w nawiasie podajemy liczby punktów na 27 możliwych):

I m. ex aequo - Daniel Danielski Gim 1 Zgorzelec i Antoni Machowski z Gim 52 Kraków (26,5 pkt),
II m. - Karol Sala ZS Piotrowice (26 pkt),
III m. - Arkadiusz Wróbel Gim 2 Brwinów (25,5 pkt),
IV m. - Adrian Słodziński Gim Milicz (25 pkt).

Gratulujemy! Nagrody wysyłamy pocztą.

Odpowiedzi:

Zad. 1. Dwudziestościan foremny ma 20·3/5 = 12 wierzchołków, z których każdy należy do pięciu trójkątnych ścian, a po ich przycięciu te oryginalne ściany stają się sześciokątami, a w miejscu każdego wierzchołka powstaje nowa ściana pięciokątna. "Piłka nożna" ma więc 20 ścian sześcio- i 12 pięciokątnych i (20·6+12·5)/3 = 60 wierzchołków oraz (20·6+12·5)/2 = 90 krawędzi. Wszystkich odcinków łączących dwa wierzchołki jest 60·59/2. Spośród nich przekątnymi tego wielościanu nie są krawędzie ani przekątne ścian. Odpowiedź to zatem 60·59/2–(90+20·9+12·5) = 30·(59–(3+6+2)) = 30·48 = 1440.

Zad. 2. Istnieją i takich setek liczb jest nieskończenie wiele - można je utworzyć np. ze 100 liczb pierwszych p₁, p₂, ..., p₁₀₀ w następujący sposób: jeśli przez P oznaczyć p₁p₂...p₁₀₀, to niech x₁ = P/p₁, x₂ = P/p₂, ..., x₁₀₀ = P/p₁₀₀. Wówczas NWD(x₁, x₂, ..., x₁₀₀) = 1, ale dla i≠j NWD(x_i, x_j) = P/(p_ip_j).

Zad. 3. Oznaczmy wierzchołki trapezu przez A, B, C, D, tak żeby AD=a, BC=b, punkt przecięcia przekątnych przez P, a końce odcinka, o którym mowa w zadaniu, przez K - na AB - i L - na CD. Szukaną długość nazwijmy x. Z podobieństwa odpowiednich trójkątów mamy: KP/a = BP/BD i LP/a = CP/AC, co po dodaniu stronami daje: x/a = BP/BD + CP/AC i po odwróceniu a/x = (BP+DP)/BP + (AP+CP)/CP = 2 + DP/BP + AP/CP, co z dalszych podobieństw daje 2+2a/b, więc ostatecznie 1/x = 2(1/a+1/b), czyli x=1/((1/a+1/b)/2)=2ab/(a+b). Jest to tzw. średnia harmoniczna liczb a i b.